ΕΥΡΕΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ

ilias_skg · #1

Σε τρίγωνο ΑΒΓ, με Α(2,4) Β(4,0) Γ(8,0) να βρεθεί η εξίσωση ευθείας που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και χωρίζει το αρχικό τρίγωνο ΑΒΓ σε 2 ισεμβαδικά μέρη.

#2

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

KARKAR · #3

Το τρίγωνο έχει εμβαδόν 8.

Η ευθεία y = λx τέμνει τις πλευρές ΑΒ , ΑΓ στα σημεία Δ , Ε

(των οποίων οι συντεταγμένες εύκολα βρίσκονται συναρτήσει του λ)

και απαιτώ το εμβαδόν του ΑΔΕ να είναι 4.

ilias_skg · #4

Το έχω δοκιμάσει αλλά δεν μου βγαίνει.

KARKAR · #5

Για να δούμε ..

Βρίσκω : $\displaystyle\Delta (\frac{8}{\lambda +2},\frac{8\lambda }{\lambda +2}),E(\frac{16}{3\lambda +2},\frac{16\lambda }{3\lambda +2})$ και με πράξεις βγάζω : $\lambda = 0,32..$

(η αρνητική απορρίπτεται , και με επιφύλαξη για τις πράξεις)

G.Tsikaloudakis · #6

Άσκηση Γ. Τσικαλουδάκη , δημοσιευμένη σε Ευκλείδη Β΄ (Τεύχος 46 2002 σελ.49)
Απάντηση: $\varepsilon :{\rm{ }}y = \frac{2}{7}x$
Σημείωση: Στο περιοδικό δίνεται Γ(6,0).

#7

Συνεχίζω την επεξεργασία του karkar για τον προσδιορισμό του λ.

Αποφεύγω την ορίζουσα για το (ΑΔΕ) χρησιμοποιώντας το εμβαδό (ΒΓΕΔ) = 4.

: 23-01-2011 Αναλυτική.jpg (14.34 KiB) Προβλήθηκε 1790 φορές

Είναι $\displaystyle \lambda _{\overrightarrow {{\rm A}{\rm B}} } = - 2$ οπότε ΑΒ: $\displaystyle y = - 2x + 8$

Είναι $\displaystyle \lambda _{\overrightarrow {{\rm A}\Gamma } } = - \frac{2}{3}$ οπότε ΑΓ: $\displaystyle y = - \frac{2}{3}x + \frac{{16}}{3}$

Έστω $\displaystyle y = \lambda x,\;\;0 < \lambda < 2$ η ευθεία (ε) που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και τέμνει την ΑΒ (γι' αυτό βάλαμε τον περιορισμό για το λ).

Η (ε) με την ΑΒ τέμνονται στο $\displaystyle \Delta \left( {\frac{8}{{\lambda + 2}},\;\frac{{8\lambda }}{{\lambda + 2}}} \right)$ και με την ΑΓ στο $\displaystyle {\rm E}\left( {\frac{{16}}{{3\lambda + 2}},\;\frac{{16\lambda }}{{3\lambda + 2}}} \right)$ .

Είναι: $\displaystyle \left( {{\rm B}\Gamma {\rm E}\Delta } \right) = \left( {{\rm O}{\rm E}\Gamma } \right) - \left( {{\rm O}{\rm B}\Delta } \right) \Rightarrow \frac{1}{2}y_E \cdot 8 - \frac{1}{2}y_\Delta \cdot 4 = 8 \Rightarrow 2y_{\rm E} - y_\Delta = 2$ , οπότε: $\displaystyle \frac{{32\lambda }}{{3\lambda + 2}} - \frac{{8\lambda }}{{\lambda + 2}} = 2 \Leftrightarrow \lambda ^2 + 16\lambda - 4 = 0\; \Leftrightarrow \lambda = - 8 \pm \sqrt {68}$

και αφού $\displaystyle 0 < \lambda < 2 \Rightarrow \lambda = \sqrt {68} - 8$

Η ζητούμενη ευθεία είναι η $\displaystyle y = \left( {\sqrt {68} - 8} \right)x$

Δοκίμασα την τιμή $\displaystyle \lambda =\frac{2}{7}$ , αλλά μού έδωσε
$\displaystyle \left(A\Delta E \right)=\frac{18}{5}$ .

Επιφυλάσσομαι για πιθανό λάθος.

Γιώργος Ρίζος

G.Tsikaloudakis · #8

Μαλλόν σωστο, γιατί στο περιοδικό δίνεται Γ(6,0).
Φιλικά Γ.Τ.

ilias_skg · #9

δοκίμασα και εγώ την λ=2/7 αλλά δεν πρέπει να είναι σωστή, διότι το εμβαδόν του μισού τριγώνου δεν βγαίνει ίσο με 4, όπως θα ήταν το σωστό. Θα με συγχωρέσετε αν δεν έδωσα την σωστή μορφή στο λ (με Latex). Η τιμή του λ είναι πολύ κοντά στην τιμή που αποδίδει το 2/7 αλλά δεν είναι αυτή η τιμή. Ευχαριστώ ελπίζω να μην κάνω λάθος και μπερδεύω τους φίλους.

ΕΥΡΕΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ

ΕΥΡΕΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ

Re: ΕΥΡΕΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ

Re: ΕΥΡΕΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ

Re: ΕΥΡΕΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ

Re: ΕΥΡΕΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ

Re: ΕΥΡΕΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ

Re: ΕΥΡΕΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ

Re: ΕΥΡΕΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ

Re: ΕΥΡΕΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ

Μέλη σε σύνδεση