Παράγωγος αριθμός και Παράγωγος συνάρτηση

#1

Δύο βραδινές εμπνεύσεις, στο παράγωγο αριθμό και στην παράγωγο συνάρτησης….

1) Έστω συνάρτηση $f:R\to R$ ώστε f(x+1)-f(x)=2x

, $x\in R$ . Αν γνωρίζουμε ότι {f}'(1)=1

να δείξετε ότι:
a) H f είναι παραγωγίσιμη στο x0=0 και $\displaystyle{{f}'(0)=-1}$
β) Αν επιπλέον f(0)=0 να δείξετε ότι $\displaystyle{\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,f(x)=6}$

2) Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f(x)=\eta {{\mu }^{\nu }}x\sigma \upsilon \nu (vx),}$ με $\nu \in {{N}^{*}}$ .
i) Δείξτε ότι η

είναι παραγωγίσιμη στο

και βρείτε την {f}'

.
ii) Να βρεθεί ο {f}'(0)

.

pana1333 · #2

1) Έστω συνάρτηση $f:R\to R$ ώστε f(x+1)-f(x)=2x

, $x\in R$ . Αν γνωρίζουμε ότι {f}'(1)=1

να δείξετε ότι:
a) H f είναι παραγωγίσιμη στο x0=0 και $\displaystyle{{f}'(0)=-1}$
β) Αν επιπλέον f(0)=0 να δείξετε ότι $\displaystyle{\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,f(x)=6}$

a) Εϊναι $f\left(x+1 \right)=2x+f\left(x \right)$ (1) όπου για x=0 έχουμε $f\left(1 \right)=f\left(0 \right)$ \displaystyle{\Rightarrow f\left(0 \right)-f\left(1 \right)=0

f^{'}\left(1 \right)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left(1+h \right)-f\left(1 \right)}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{2h+f\left(h \right)-f\left(1 \right)}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{2h+f\left(h \right)-f\left(0 \right)+f\left(0 \right)-f\left(1 \right)}{h}=

=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{2h}{h}+f^{'}\left(0 \right)+\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left(0 \right)-f\left(1 \right)}{h}=2+f^{'}\left(0 \right) Αλλά

f^{'}\left(1 \right)=1\Rightarrow 2+f^{'}\left(0 \right)=1\Rightarrow f^{'}\left(0 \right)=-1 .

b)Απο την σχέση (1) προκύπτει για x=x+2 ότι

f\left(x+3 \right)=2\left(x+2 \right)+f\left(x+2 \right) (2) και για x=x+1 ότι

f\left(x+2 \right)=2\left(x+1 \right)+f\left(x+1 \right) (3).

Επομένως απο (1),(2),(3) προκύπτει ότι

f\left(x+3 \right)=2\left(x+2 \right)+2\left(x+1 \right)+2x+f\left(x \right) .

Επίσης αφου η f παραγωγίσιμη στο 0 είναι και συνεχής στο 0 δηλαδή

\lim_{x\rightarrow 0}f\left(x \right)=f\left(0 \right)=0 .

Άρα

\lim_{x\rightarrow 3}f\left(x \right)=\lim_{h\rightarrow 0}f\left(h+3 \right)=} $\lim_{h\rightarrow 0}2\left(h+2 \right)+2\left(h+1 \right)+2h+f\left(h \right)=6+f\left(0 \right)=6$

pana1333 · #3

Δίνω και την δεύτερη για να μην χαθεί......

2) Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f(x)=\eta {{\mu }^{\nu }}x\sigma \upsilon \nu (vx),}$ με $\nu \in {{N}^{*}}$ .
i) Δείξτε ότι η

είναι παραγωγίσιμη στο

και βρείτε την {f}'

.
ii) Να βρεθεί ο {f}'(0)

.

Λιγάκι αναλυτικά.....

i) H συνάρτηση ημx είναι παραγωγίσιμη στο R οπότε είναι παραγωγίσιμη και η $\eta \mu ^{\nu }\left(x \right)$ ως γινόμενο παραγωγίσιμων συναρτήσεων.
Οι συναρτήσεις νx και συνx είναι παραγωγίσιμες στο R οπότε είναι και η σύνθεση τους συν(νχ).

Επομένως η $f\left(x \right)=\eta \mu ^{\nu }\left(x \right)\sigma \upsilon \nu \left(\nu x \right)$ παραγωγίσιμη στο R με παράγωγο $f{'}\left(x \right)=\nu \eta \mu ^{\nu -1}\left(x \right)\sigma \upsilon \nu \left(x \right)\sigma \upsilon \nu \left(\nu x \right)+\nu \eta \mu ^{\nu }\left(x \right)\eta \mu \left(\nu x \right)$ $=\nu \eta \mu ^{\nu -1}\left(x \right)\left(\sigma \upsilon \nu \left(x \right)\sigma \upsilon \nu \left(\nu x \right)-\eta \mu x\eta \mu \left(\nu x \right) \right)=\nu \eta \mu ^{\nu -1}\left(x \right)\sigma \upsilon \nu \left[ \left(\nu +1 \right)x\right]$

ii) Είναι $f{'}\left(0 \right)=0$

#4

Xρήστο καλησπέρα σου και κατ΄αρχάς ευχαριστώ που ασχολήθηκες....
στο 2ο έχει μιά λεπτομέρεια που αυτήν ήθελα να τονίσω όταν το δημιούργησα και την έβαλα σε ένα διαγώνισμα.....
Η $\eta {{\mu }^{v}}x$ είναι σύνθεση της ${{x}^{v}}$ παραγωγίσιμης στο

όταν το $v\ne 1$ και της $\eta \mu x$ παραγωγίσιμης στο

άρα η $\eta {{\mu }^{v}}x$ παραγωγίσιμη στο

για $v\ne 1$
….έτσι η απάντηση που έδωσες είναι όταν $v\ne 1$ .Για v=1

λοιπόν η συνάρτηση γίνεται $f(x)=\eta \mu x\,\sigma \upsilon \nu x$ οπότε έχει παράγωγο ${f}'(x)=\sigma \upsilon \nu x\,\sigma \upsilon \nu x-\eta \mu x\eta \mu x=\sigma \upsilon {{\nu }^{2}}x-\eta {{\mu }^{2}}x=\sigma \upsilon \nu 2x$
Και ${f}'(0)=\sigma \upsilon v0=1$
Εγώ τους τονίζω πάντως να προσέχουν που 'βάζουν' τον τόνο.....πρώτα να εξηγούν που και γιατί και μετά... για να μη χάνουν στην λεπτομέρεια... που κάνει το πρωταθλητή...τα λέμε

Ιστοσελίδα · #5

KAKABASBASILEIOS έγραψε:Xρήστο καλησπέρα σου και κατ΄αρχάς ευχαριστώ που ασχολήθηκες....
στο 2ο έχει μιά λεπτομέρεια που αυτήν ήθελα να τονίσω όταν το δημιούργησα και την έβαλα σε ένα διαγώνισμα.....
Η $\eta {{\mu }^{v}}x$ είναι σύνθεση της ${{x}^{v}}$ παραγωγίσιμης στο όταν το $v\ne 1$ και της $\eta \mu x$ παραγωγίσιμης στο
άρα η $\eta {{\mu }^{v}}x$ παραγωγίσιμη στο για $v\ne 1$
….έτσι η απάντηση που έδωσες είναι όταν $v\ne 1$ .Για λοιπόν η συνάρτηση γίνεται $f(x)=\eta \mu x\,\sigma \upsilon \nu x$ οπότε έχει παράγωγο ${f}'(x)=\sigma \upsilon \nu x\,\sigma \upsilon \nu x-\eta \mu x\eta \mu x=\sigma \upsilon {{\nu }^{2}}x-\eta {{\mu }^{2}}x=\sigma \upsilon \nu 2x$
Και ${f}'(0)=\sigma \upsilon v0=1$
Εγώ τους τονίζω πάντως να προσέχουν που 'βάζουν' τον τόνο.....πρώτα να εξηγούν που και γιατί και μετά... για να μη χάνουν στην λεπτομέρεια... που κάνει το πρωταθλητή...τα λέμε

και η ημχ μπορεί να θεωρηθεί σύνθεση της παραγωγίσιμης x^1

με την ημχ οπότε συμπεριλαμβάνεται στην περίπτωση $\eta {{\mu }^{v}}x$ . Αλλά και πάλι δε νομίζω να ασχοληθεί κανείς ούτε καν στις εξετάσεις με κάτι τέτοιο στη διόρθωση...μάλλον υπερβολικό θα το έλεγα !

pana1333 · #6

Καλημέρα Βασίλη. Ουσιαστικά πρέπει να δεις την περίπτωση ν=1 όπου $f{'}\left(0\right)=1$ . Έχει παγιδούλα την οποία έψαχνα εξ' αρχής αλλά δεν έβρισκα.....και η οποία στηρίζεται στο ότι η $f\left(x \right)=x^{\nu }$ είναι παραγωγίσιμη στο R για $\nu \epsilon N-\left\{0,1 \right\}$ . Μάλιστα.....

7apostolis · #7

Καλημέρα,
νομίζω ότι δεν υπάρχει πρόβλημα σε αυτό που βρίσκει ο Χρήστος στο α) για ν οποιοδήποτε θετικό ακέραιο, ακόμη και για ν=1.
Το λάθος βρίσκεται στο πως εφαρμόζει τον τύπο για να βρεί τo f '(0). Πρέπει να πάρει δύο περιπτώσεις, μια για ν=1 και μία για μεγαλύτερα ν. Αυτή η διάκριση δίνει το σωστό αποτέλεσμα, που είναι:
f '(0)=1 για ν=1 και f '(0)=0 για ν>1, φυσικός.

Το σχολικό βιβλίο λέει στην απόδειξη που κάνει, για ν ανήκει στο Ν-{0,1}, απλώς γιατί έχει κάνει την απόδειξη για ν=1 προηγουμένως για αυτό εξαιρεί τώρα το ν=1. Η $x^{\nu}$ είναι παραγωγίσιμη στο R για κάθε θετικό ακέραιο ν με παράγωγο ${\nu}x^{\nu-1}$

Αποστόλης

KARKAR · #8

Φίλε Αποστόλη.

Για τη συνάρτηση f(x)=x^1

, δεν είναι σωστό να αφαρμόσουμε τον τύπο που αναφέρεις ,

διότι τότε f'(0) = ;

pana1333 · #9

7apostolis έγραψε:
Το σχολικό βιβλίο λέει στην απόδειξη που κάνει, για ν ανήκει στο Ν-{0,1}, απλώς γιατί έχει κάνει την απόδειξη για ν=1 προηγουμένως για αυτό εξαιρεί τώρα το ν=1. Η $x^{\nu}$ είναι παραγωγίσιμη στο R για κάθε θετικό ακέραιο ν με παράγωγο ${\nu}x^{\nu-1}$

Αποστόλη δεν το εξαιρεί για αυτό το ν=1 αλλα γιατί αν βάλεις στο τύπο $f{'}\left(x \right)={\nu}x^{\nu-1}$ όπου ν =1 παίρνεις $f{'}\left(x \right)=1$ . Σε αυτή την παγίδα στηρίχθηκε ο Βασίλης.

7apostolis · #10

Αγαπητοί φίλοι,

δεν έχω αντίρρηση να παραδεχτώ ένα λάθος μου, αρκεί να καταλάβω που είναι για να το διορθώσω.

f '(x)= ${\nu}x^{\nu-1}$ για ν=1 γίνεται f '(x)= $1x^{1-1}$ =1, x πραγματικός, άρα f '(0)=1

Αποστόλης

KARKAR · #11

Αλλιώς : $x^{1-1}$ δεν κάνει 1 , όταν x=0

7apostolis · #12

Αγαπητέ ΚΑΡΚΑΡ,
Νομίζω πρώτα βρίσκουμε την παράγωγο συνάρτηση που είναι η f '(x)=1 και μετά βάζουμε στον τύπο
x=0.
Πάντως κοιτάζοντας και το βιβλίο του Walter Rudin "Principles of Mathematical Analysis" (third edition σελ. 105) αναφέρει επί λέξει:
"Repeated application of (b) and (c) then shows that $x^{n}$ is differentiable, and its derivative is $nx^{n-1}$ , for any integer n (if n<0, we have to restrict ourselves to $x{\ne}0$ )".

(b, c είναι οι κανόνες παραγώγισης γινομένου και πηλίκου)

Το λάθος του Χρήστου στο ii του τρίτου μηνύματος είναι που γράφει f '(0)=0.
Το σωστό κατά την γνώμη μου είναι:
Για ν=1 τότε f '(x)=συν(2x) (από τον παραπάνω τύπο που έχει βρει στο i και χωρίς έξτρα πράξεις!), άρα f '(0)=1.

Για ν>1 τότε f '(0)=0.

Αποστόλης

pana1333 · #13

Αποστόλη, να τα πάρουμε λίγο απο την αρχή.

Καταρχήν στο ότι η αρχική μου λύση έχει λάθος στο ii) είναι δεδομένο αφού $f{'}\left(0 \right)=1$ για ν=1

Η διαφωνία τώρα είναι που οφείλετε το λάθος: Εξηγώ

Αν θεωρήσουμε ότι η συνάρτηση $f\left(x \right)=x^{\nu }$ είναι παραγωγίσιμη για καθε ν φυσικό (το οποίο είναι και σωστό) τότε θα έπρεπε να πάρουμε δύο περιπτώσεις, μια για ν=1 και μία για ν>1. Εδώ όμως δεν φαίνονται οι περιπτώσεις. Η να το πω καλύτερα πως δικαιολογούνται οι 2 περιπτώσεις; πρέπει να τις φανταστείς.....

Σύμφωνα με το σχολικό βιβλίο όμως η $f\left(x \right)=x^{\nu }$ είναι παραγωγίσιμη για καθε ν φυσικό εκτός των 0,1 και αυτό γιατί όπως το καταλαβαίνω εγώ, απλά ξεχωρίζει την σταθερή συνάρτηση f(x)=1 για ν=0 και την f(x)=x για ν=1 διότι για αυτήν την περίπτωση είναι $f{'}\left(0 \right)=1$ ενώ για όλες τις άλλες περιπτώσεις $f{'}\left(0 \right)=0$ . Πάνω σε αυτό λοιπόν πιστεύω ότι στηρίχθηκε ο Βασίλης και έβαλε αυτήν τη παγίδα. Σε αυτή την περίπτωση είναι ξεκάθαρες οι 2 περιπτώσεις.

Θα συμφωνήσω πάντως στο ότι όπως και να το δείς πρέπει να πάρουμε 2 περιπτώσεις. Που εγώ δεν είδα φυσικα

Είναι ίδια άσκηση με την εξής ....

Έστω η συνάρτηση $f\left(x \right)=x^{\nu }$ . Να βρεθεί το $f{'}\left(0 \right)$

Παράγωγος αριθμός και Παράγωγος συνάρτηση

Παράγωγος αριθμός και Παράγωγος συνάρτηση

Re: Παράγωγος αριθμός και Παράγωγος συνάρτηση

Re: Παράγωγος αριθμός και Παράγωγος συνάρτηση

Re: Παράγωγος αριθμός και Παράγωγος συνάρτηση

Re: Παράγωγος αριθμός και Παράγωγος συνάρτηση

Re: Παράγωγος αριθμός και Παράγωγος συνάρτηση

Re: Παράγωγος αριθμός και Παράγωγος συνάρτηση

Re: Παράγωγος αριθμός και Παράγωγος συνάρτηση

Re: Παράγωγος αριθμός και Παράγωγος συνάρτηση

Re: Παράγωγος αριθμός και Παράγωγος συνάρτηση

Re: Παράγωγος αριθμός και Παράγωγος συνάρτηση

Re: Παράγωγος αριθμός και Παράγωγος συνάρτηση

Re: Παράγωγος αριθμός και Παράγωγος συνάρτηση

Μέλη σε σύνδεση