Ελάχιστο

mathxl · #1

Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της παράστασης $A=\sqrt{x^2+(y+1)^2}+\sqrt{x^2+(y-3)^2}$ όταν τα x και y ικανοποιούν την εξίσωση 2x-y=2

Από τον Στιουαρτ Κλαρκ

Triantafyllos · #2

Αν

, τότε φανερά ζητάμε το A=|z_1|+|z_2|

δηλαδή άθροισμα θετικών αριθμών να γίνει ελάχιστο
Οι γ.τ. είναι οι παράλληλες ευθείες y=2x-1, y=2x-5

και οι ελάχιστες αποστάσεις 5, 1/5, οπότε $A_{min}=5+1/5=26/5>|z_1+z_2|$

Μήνυμα από Γενικούς Συντονιστές: Μετατροπή σε ΤΕΧ για να είναι συμβατό με τους κανονισμούς μας.

mathxl · #3

Μμμμ για ξαναδες το σε παρακαλώ.
Μπορείς να δεις και τον γτ αλλά και το ακρότατο παίζοντας με το κόκκινο σμείο

#4

mathxl έγραψε:Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της παράστασης $A=\sqrt{x^2+(y+1)^2}+\sqrt{x^2+(y-3)^2}$ όταν τα x και y ικανοποιούν την εξίσωση

Από τον Στιουαρτ Κλαρκ

Ισχυρή υπόδειξη:

$\displaystyle{A = \sqrt{5} \left( \sqrt{x^2+ \left( \frac{1}{\sqrt 5}\right)^2 -2x \frac{1}{\sqrt 5} \cdot\frac{2\sqrt5}{5} }+ \sqrt{x^2+ \left( {\sqrt 5}\right)^2 -2x {\sqrt 5} \cdot \frac{2\sqrt5}{5} \right)}$

Θεωρούμε τώρα τρίγωνο με μία πλευρά $AB=\frac{1}{\sqrt 5}$ , δεύτερη $AC=\sqrt 5$ , γωνία μεταξύ τους $2\theta$ όπου $\cos \theta = \frac{2\sqrt5}{5}$ (έτσι $\cos 2 \theta = 2\cos ^2 \theta = \frac{3}{5}$ ). Επί της διχοτόμου παίρνουμε AD = x

. Επί της διχοτόμου παίρνουμε AD = x

.

Από τον νόμο των συνημιτόνων η παραπάνω παράσταση είναι $\sqrt 5 (BD + CD)$ . To ελάχιστο λαμβάνεται όταν το

είναι επί της

, και ισούται με

. To τελευταίο υπολογίζεται αμέσως από τον νόμο των συνημιτόνων στο ABC

ως $BC = \sqrt{AB^2 + AC^2 -2\cdot AB\cdot AC\cos 2\theta } = \sqrt{\frac{1}{5} + 5 -2\cdot\frac{1}{\sqrt 5}\cdot \sqrt 5\cdot \frac{3}{5}} = 2}$ .

To ζητούμενο ελάχιστο, λοιπόν, ισούται $2\sqrt 5$ .

M.

Edit: Βασίλη, τα μηνύματά μας διασταυρώθηκαν. Πέρα από αυτό, δεν έχω geogebra και δεν μπορώ να δω το σχήμα σου. Να υποθέσω ότι κάνεις κάτι σαν αυτό που περιγράφω;

Triantafyllos · #5

Δεν εχω geogebra αλλά υπάρχει μικρότερο ελάχιστο; Που σκάλωσε η λύση;

Triantafyllos · #6

(καινούργιος είμαι θα μάθω)
Υπάρχει δηλαδή μεγαλύτερο ελάχιστο απο αυτό που βρήκα; Δεν έχω geogebra αλλά που σκάλωσε η λύση;

#7

Triantafyllos έγραψε:Αν , τότε φανερά ζητάμε το δηλαδή άθροισμα θετικών αριθμών να γίνει ελάχιστο
Οι γ.τ. είναι οι παράλληλες ευθείες και οι ελάχιστες αποστάσεις 5, 1/5, οπότε $A_{min}=5+1/5=26/5>|z_1+z_2|$

Μήνυμα από Γενικούς Συντονιστές: Μετατροπή σε ΤΕΧ για να είναι συμβατό με τους κανονισμούς μας.

Δεν καταλαβαίνω τον συλλογισμό. Π.χ. δεν βλέπω που χρησιμοποιήθηκε το x+(y+1)i

. Αν δηλαδή είχαμε το 100000x+(y+1)i

στη θέση του, πώς θα άλλαζε το βήμα που λέει οι ελάχιστες αποστάσεις 5, 1/5, οπότε $A_{min}=5+1/5=26/5>|z_1+z_2|$ ;

Μ.

Triantafyllos · #8

τα μέτρα των μιγαδικών αντιπροσωπεύουν τις δυο ρίζες και από τις εκφράσεις των μιγαδικών βρέθηκαν οι γ.τ. οπότε και οι ελάχιστες τιμές τους.
Εσείς βρίσκετε μεγαλύτερο ελάχιστο;

#9

Triantafyllos έγραψε:τα μέτρα των μιγαδικών αντιπροσωπεύουν τις δυο ρίζες και από τις εκφράσεις των μιγαδικών βρέθηκαν οι γ.τ. οπότε και οι ελάχιστες τιμές τους.
Εσείς βρίσκετε μεγαλύτερο ελάχιστο;

O συλλογισμός σου φαίνεται αρκετά εσφαλμένος (και δεν απαντάς στο ερώτημα που σε έθεσα με το 10000x + (y+1)i

).

Το επιβεβαιώνουν άλλωστε και οι αριθμοί γιατί αν θέσουμε

$x=\frac{3}{2}, y=1$ ,

ικανοποιείται η συνθήκη 2x-y=2

, και η τιμή της παράστασης είναι
$\sqrt{ \frac{9}{4}+4} + \sqrt{ \frac{9}{4}+4} = 5$ .

H τιμή αυτή

είναι βέβαια μικρότερη από το υποτιθέμενο ελάχιστο που βρήκες, δηλαδή το $5 + \frac{1}{5}$ .

To ελάχιστο, στην πραγματικότητα είναι ακόμη μικρότερο από

. Η διαδικασία που περιγράφω δίνει $\approx 4,47$ .

M.

mathxl · #10

μετά από ισχυρό ξενύχτι...το ελάχιστο κατά προσέγγιση είναι 4,47

Ελάχιστο

Ελάχιστο

Re: Ελάχιστο

Re: Ελάχιστο

Re: Ελάχιστο

Re: Ελάχιστο

Re: Ελάχιστο

Re: Ελάχιστο

Re: Ελάχιστο

Re: Ελάχιστο

Re: Ελάχιστο

Μέλη σε σύνδεση