Για τον διαγωνισμό Αρχιμήδης 2011, Γεωμετρία

[Ανδρέας Πούλος]

Δίνεται ένα επίπεδο Ρ και ένα σημείο του έστω Α.
Αν Β ένα σημείο εκτός του επιπέδου Ρ, να βρεθούν τα σημεία Χ του Ρ για τα οποία

ο λόγος παίρνει τη μέγιστη τιμή του.

Να διακρίνετε δύο περιπτώσεις:
1. Το τμήμα ΑΒ είναι κάθετο στο Ρ.
2. Το τμήμα ΑΒ δεν είναι κάθετο στο Ρ.

Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος

[S.E.Louridas]

Σε πρώτη φάση Ανδρέα (και με κάποιες επιφυλάξεις λόγω χρόνου) θα πω την σκέψη μου σε αντίστοιχο πρόβλημα σε επίπεδο.
Δουλεύοντας,λοιπόν στο επίπεδο το αντίστοιχο πρόβλημα είναι το εξής:
Εστω γωνία xΟy και πάνω στην Oy σημείο O. Ζητάμε πάνω στην Ox σημείο Χ ώστε ο λόγος να είναι μέγιστος . Αυτό το πετυχαίνουμε όταν θεωρήσουμε κύκλο κέντρου, έστω Τ πάνω στην ΟΒ και μεταξύ των Α,Β, που να εφάπτεται της Οx ,έστω στο Γ και να διέρχεται από το Β. Η τομή της μεσοκάθετης της ΒΓ με την Οx δίνει το ζητούμενο σημείο Χ.
Αν λοιπόν (στο πρόβλημα που προτάθηκε στον χώρο), θεωρήσουμε ότι το Χ έχει κατασκευαστεί και ενώσουμε το Χ με το Α μέχρι να συναντήσει το "απέναντι'' σημείο τομής με τον κύκλο του επιπέδου (Α,ΑΒ) ,ώστε ΧΤ=ΧΑ+ΑΒ τότε το Χ αυτό ως πρός την γωνία <ΒΤΑ θα βρίσκεται σε συγκεκριμμένη θέση με βάση τα προηγούμενα.Άρα από όλα αυτά τα Χ με βάση τα σημεία Σ του κύκλου, πρέπει να προσδιορίσουμε αυτό που δίνει την μέγιστη τιμή του κλάσματος. Αισθάνομαι ότι το παιχνίδι θα παιχτεί αν φέρουμε την κάθετη από το Β στο επίπεδο.

S.E.Louridas

[Ανδρέας Πούλος]

Σωτήρη,
καταλαβαίνω ότι το θέμα που έφτιαξα είναι "παλαιάς μόδας", είναι Γεωμετρία σε τρεις διαστάσεις,
αλλά αν το δει κάποιος συμπαθητικά, μεταμορφώνεται σε "γνωστό" πρόβλημα.
Υποτίθεται όμως, ότι πρέπει να εργάζονται οι υποψήφιοι για τους διαγωνισμούς σε κάθε είδους πρόβλημα.
Νομίζω ότι και αυτό είναι το ζητούμενο από οποιαδήποτε επιτροπή κατασκευής θεμάτων.
Ας περιμένουμε λίγο ακόμα και μετά παρουσιάζουμε τις προσεγγίσεις μας.

Φιλικά
Ανδρέας Πούλος

[S.E.Louridas]

Εν τάξει Ανδρέα, εν τάξει.
Πάντως το θέμα αυτό δεν είναι off της μόδας. Η στερεομετρία παραμένει μάχιμη, απλά είναι πλέον δύσκολη η πρόσβαση εκεί και κακώς.Αυτή η δυσκολία πρόσβασης είναι εις βάρος της σκέψης. Ναί οι θεματοδότες δεν μπορεί να είναι άτομα από το πουθενά, αλλά άτομα που να επιλέγονται με βάση ΔΕΔΟΜΕΝΑ και μάλιστα ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΑ. Αυτό όμως είναι ένα γενικώτερο (πιθανόν και εκτός των συνόρων) σοβαρό θέμα.

(*) Απλά επειδή μιλάς γιά προσδιορισμό σημείου δεν αρκεί μόνο η ύπαρξη, αλλά θα πρέπει η διαπραγμάτευση μας να έχει ΚΑΙ κατασκευαστικό στίγμα (κατά την ταπεινή μου άποψη).

(**)Προσωπικά θα κατασκεύαζα το σημείο ως εξής: Θά θεωρούσα ΒΒ΄κάθετη στο Ρ, στην συνέχεια θα εύρισκα το Σ΄σαν τομή της Β΄Α με τον κύκλο (Α, ΑΒ). Στο επίπεδο ΒΣ΄Α και στην γωνία <ΒΣ΄Α, επί της Σ΄Β και μεταξύ των Σ΄και Β θα προσδιόριζα σημείο Ν ώστε ΝΒ=ΝΝ΄,Ν΄η προβολή του Ν στην Σ΄Β΄.Τέλος θα κατασκεύαζα την μεσοκάθετη του ΒΝ΄και θα προσδιόριζα την τομή της με την ευθεία Σ΄Β΄.Αυτή η τομή είναι το Χ.

S.E.Louridas

[Ανδρέας Πούλος]

Δίνω απάντηση στο ερώτημα α).
Δείτε το συνημμένο σχήμα. Ονόμαζω φ την γωνία ΑΧΒ. Τότε ο ζητούμενος λόγος γράφεται:

= ημφ + συνφ.

Το πρόβλημα λοιπόν, ανάγεται σε καθαρά αλγεβρικό,
να βρεθεί η μέγιστη τιμή της παράστασης ημφ + συνφ, όταν 0 φ < π/2.

Ας δώσουμε μία πρόσεγγιση με τη χρήση του διαφορικού λογισμού.
Θεωρούμε τη συνάρτηση f με f(x) = ημx + συνx, επειδή f'(x) = συνx - ημx
μελετώντας το σημείο μηδενισμού της παραγώγου και την αλλαγή του προσήμου της,
προκύπτει το συμπέρασμα ότι για x = π/4, έχουμε την μέγιστη τιμής της f.
Αυτό σημαίνει ότι ΑΒ = ΑΧ, διότι το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΧ πρέπει να είναι και ισοσκελές,
άρα το σημείο Χ θα ανήκει στο επίπεδο Ρ και στον κύκλο (Α, R), όπου R = ΑΒ.

Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος

[S.E.Louridas]

Για λόγους και μόνο Μαθηματικού διαλόγου, Πλουραλισμού και διδακτικού στίγματος.
Η Γεωμετρική μέθοδος που ανέφερα λειτουργεί ως εξής στην περίπτωση που ΒΑ κάθετη στο Ρ. Θεωρούμε στο Ρ σημείο Σ΄ ,ώστε ΑΣ΄=ΑΒ. Υπάρχει σημείο Ν της πλευράς Σ΄Β ώστε ΝΒ=ΝΝ΄, όταν . Η μεσοκάθετη στο ΒΝ΄ που προφανώς διέρχεται από το Ν, τέμνει την ημιευθεία Σ΄Α σε σημείο Χ που Προφανέστατα


S.E.Louridas