Είναι Σ ή Λ η παρακάτω πρόταση.

[Μπάμπης Στεργίου]

Ο ορισμός είναι ορισμός και το θεώρημα είναι θεώρημα !

Αν δεν δεχτούμε αυτή τη διαφορά, δεν έχει λόγο να συζητάμε !

Στις εξετάσεις , όταν ζητάμε έναν ορισμό , δε βαθμολογούμε ούτε εξετάζουμε αν αυτό που γράφει ο μαθητής είναι ορθό αλλά αν είναι η ορθή απάντηση σε αυτό που του ζητάμε. Οι ερωτήσεις στις εξετάσεις γίνονται με βάση τους διδακτικούς στόχους που έχουν τεθεί εκ των προτέρων..Διαφορετικά είναι άσκοπο να ζητάμε ορισμούς . Δεν μπορώ να δω κάτι άλλο πιο σαφές !

Αν στην ερώτηση τι είναι παραλληλόγραμμο ο μαθητής γράψει κάποια από τις ιδιότητες,πχ ότι είναι το τετράπλευρο που έχει τις απέναντι πλευρές ίσες, δεν νομίζω ότι απάντησε ορθά με βάση το βιβλίο που δεχόμαστε ως αναφορά. Αυτό δε σημαίνει ότι γράφει κάτι λάθος, αλλά ότι δεν απαντά στην ερώτηση που του γίνεται.Σε ένα άλλο σχολικό βιβλίο θα μπορούσε αυτή η απάντηση να είναι ο ορισμός του παραλληλογράμμου, αλλά στο συγκεκριμένο δεν είναι !
Ούτε μας ενδιαφέρει αν ο ορισμός που δίνει ο μαθητής είναι καλύτερος από τον ορισμό του βιβλίου.Αυτό είναι άλλο ζήτημα.Δυστυχώς, η εξέταση των ορισμών εμπεριέχει το στοιχείο της ...παπαγαλίας αν θέλετε, αλλά χωρίς ορισμούς καμία αξιωματική θεμελίωση δεν μπορεί να στηθεί. Το θέμα της βαθμολογίας το αντιπαρέρχομαι, μια και δεν ειναι αυτό το θέμα μας.

Να το πω και αλλιώς : είναι άλλο να ρωτήσεις τον ορισμό της κυρτής συνάρτησης σε 100 μεταπτυχιακούς φοιτητές και άλλο να εξετάσεις 100 μαθητές με κοινό βιβλίο αναφοράς , ζητώντας τους να δώσουν τον ορισμό αυτό. Το ίδιο και τον ορισμό της συνέχειας.

Απαντώντας λοιπόν στο Δημήτρη του λέω πώς αν εξέταζα φοιτητές, δεν θα έκανα καμιά διάκριση, όποιον ορισμό και αν μου έδιναν.Κάθε απάντηση από αυτές που έχουν δομή ορισμού, ακόμα και αν δεν είχαν διατυπωθεί σε κανένα βιβλίο, θα γίνονταν δεκτές.
Εδώ όμως πρόκειται για εξετάσεις σχολικές και τα κριτήρια είναι διαφορετικά.Αν δώσουμε στους μαθητές το μήνυμα ότι δεν υπάρχει διάκριση ανάμεσα στο '' τι ονομάζουμε '' και στο '' ισχύει ότι '' , είμαι σίγουρος ότι δεν προσφέρουμε καλή πληροφορία. Σε αυτό λοιπόν το σημείο δεν συμμερίζομαι την άποψη , ότι οι εκφράσεις ''λέμε Α'' και '' είναι Α '' θεωρούνται για το μαθητή ταυτόσημες ή ότι πρέπει να επιτρέψουμε στους μαθητές να τις ταυτίσουν, ακόμα και αν είναι κοντά η μία στην άλλη ή είναι αναπόδεικτες , έστω και αν είναι ισοδύναμες. Έχω εκφράσει από παλιά τη θέση ότι τον μαθητή δεν τον τιμωρούμε για τις παραπάνω γνώσεις του, όταν τις γράφει εκεί που πρέπει και όπως πρέπει. Όμως πρέπει να γνωρίζει σε ποια ερώτηση απαντά και όχι απλά να απαντά. Αυτό ,όχι για να μην του κόψουμε μονάδες , αλλά διότι αποτελεί μια βασική διαφορά των μαθηματικών από άλλους κλάδους. Δεν ενστενίζομαι με τίποτα την τυπολατρεία, αλλά αφού διδάσκουμε σωστά, έχουμε και τις ανάλογες προσδοκίες, απαιτήσεις πείτε το αν θέλετε.

Το κριτήριο λοιπόν '' ένα τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο όταν οι απέναντι πλευρές είναι ίσες '' και ο ορισμός '' ένα τετράπλευρο λέγεται παραλληλόγραμμο , όταν οι απέναντι πλευρές είναι παράλληλες '' είναι για το διδάσκοντα και το μαθητή διαφορετικά πράγματα και πρέπει να γίνεται σαφής διάκριση, τόσο κατά τη διδασκαλία όσο και κατά την εξέταση.
Το ότι είναι και τα δυο ισοδύναμες προτάσεις στα πλαίσια της ευκλείδειας γεωμετρίας είναι άλλο πράγμα.Το ότι αν το ένα το εκλάβουμε ως ορισμό, τότε το άλλο είναι θεώρημα, είναι επίσης διαφορετικό ζήτημα.

Συμφωνώ όμως σε ένα πράγμα : όταν στο σχολικό βιβλίο δεν αναφέρεται ρητά η λέξη ΟΡΙΣΜΟΣ ή δίνεται με τη μορφή :'' παραλληλόγραμμο είναι ένα τετράπλευρο που .... '' τότε και εμείς είμαστε ελαστικοί στην αξιολόγηση της απάντησης του μαθητή, αλλά και καλό είναι να αποφεύγουμε την ερώτηση.
Αν λοιπόν δεν είναι σαφές ότι το σχολικό βιβλίο διατυπώνει ορισμό , τότε δεν πρέπει να τεθεί ερώτημα ούτε στις εξετάσεις. Αν ωστόσο τεθεί, τότε εμείς που θα βαθμολογούμε ξέρουμε πολύ καλά τι θα κάνουμε.
Αν όμως όπως στη σελίδα 97 του βιβλίου της γεωμετρία Λυκείου ο ορισμός του παραλληλογράμμου δίνεται με σαφήνεια, κάθε άλλη απάντηση( πχ κάποια ιδιότητα- κριτήριο) τίθεται προς διαπραγμάτευση !
Το ίδιο συμβαίνει και με τον ορισμό του ορθογωνίου (σελίδα 100 ή του ρόμβου-σελίδα 101).
Γιατί να δεχτούμε ως πλήρη την απάντηση που θα δώσει ένας μαθητής, αν απλά δώσει μια ιδιότητα ; Ας τον ρωτάγαμε τότε να μας πει τις ιδιότητες και όχι τον ορισμό.
Αυτά κυρίως για το Λύκειο και πιο πολύ για τις γενικές εξετάσεις.

Να έρθουμε όμως και στη γ΄Λυκείου , στην κατεύθυνση :
α) - '' Τι ονομάζουμε μέτρο μιγαδικού αριθμού z ; ''(Σελίδα 97).
Ο μαθητής απαντά :
- '' τον αριθμό
Το αφήνω στην κρίση σας !

β) - '' πότε η ευθεία y = λx + μ λέγεται ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης μια συνάρτησης '' ;
Ο μαθητής απαντά :
- '' όταν λ = (ο τύπος με τα όρια κλπ) και μ = ( ομοίως )
Πάνω ακριβώς από αυτό που γράφει ο μαθητής αναγράφεται ΘΕΩΡΗΜΑ ενώ πιο πάνω ΟΡΙΣΜΟΣ.
Μπορείτε μόνοι σας να αξιολογήσετε την απάντηση , παρόλο το ατόπημα της ΚΕΓΕ τη χρονιά που τέθηκε στις εξετάσεις !
Φανταστείτε τώρα στο ερώτημα '' τι είναι ορισμένο ολοκλήρωμα από a έως b της f(x)dx'' ο μαθητής να γράψeει ότι '' ορισμένο ολοκλήρωμα .... είναι ο αριθμός G(b)-G(a) , όπου G είναι μια αρχική της f στο [a,b]''.

Αυτή είναι συμπερασματικά η άποψή μου :
Ο ορισμός σε κάθε σχολικό βιβλίο είναι ένας και αν ζητηθεί, η απάντηση είναι μία, εκτός και αν συνοδεύεται στο ίδιο το σχολικό βιβλίο αμέσως από εναλλακτική πρόταση, απόρροια λογικού νόμου, όπως στον ορισμό της 1-1 συνάρτησης, όπου δεν αναγράφεται η λέξη ΘΕΩΡΗΜΑ αλλά '' με άτοπο απαγωγή '', κάτι που δεν χρειάζεται ίσως(εδώ ...νερώνω λίγο το κρασί μου , διότι τους βασικούς νόμους της λογικής τους θεωρώ εκ των ουκ άνευ).
Σε καμία άλλη περίπτωση δεν πρέπει να αναγράφεται πρόταση ως απάντηση σε ερώτημα '' τι ονομάζουμε ''.
Το '' είναι ή ισχύει ότι '' έχουμε χρέος ως δάσκαλοι να το διαχωρίσουμε από τον όρο '' ονομάζουμε ή ορίζουμε ή λέμε ''

Αν ωστόσο θέλετε όλοι να συμφωνήσουμε ότι δεν θα κάνουμε διάκριση στις εξετάσεις ή αλλού ανάμεσα σε ορισμό και πρόταση - θεώρημα, τότε να συμπλεύσω και γω μαζί σας. Για την ώρα όμως και με όσα κάνουμε τόσα χρόνια, αυτό ισχύει ! Και για να διαφυλλάξουμε τους μαθητές μας στις εξέτάσεις(αλλά και για άλλους λόγους που είπα παραπάνω) , καλό είναι να τους τονίζουμε τη διαφορά , για να μη γράφουν στις εξετάσεις ό,τι τους έρθει στο μυαλό !

Μπάμπης
(Μια προσωπική γνώμη εξέφρασα. Σέβομαι τις τόσο ωραίες και υπεύθυνες απαντήσεις των άλλων συναδέλφων που συμμετείχαν. Δεν νομίζω να έχω να προσθέσω κάτι άλλο. Ομολογώ ότι προβληματίστηκα από τις απόψεις σας και θα συνεχίζω να προβληματίζομαι. Δεν μου είναι καθόλου δύσκολο, αν χρειαστεί , να αλλάξω γνώμη. Αλλιώς δεν κάνουμε διάλογο αλλά έκθεση ιδεών !Και για να πάω λίγο παραπέρα : ας σταματήσουμε να ζητάμε ορισμούς στις εξετάσεις, αν δεν έχουμε ξεκαθαρίσει εμείς οι ίδιοι τι ακριβώς ζητάμε ).

[Στέλιος Μαρίνης]

Για άλλη μια φορά, δικαίως, αφού η εισαγωγή των μαθητών μας θα εξαρτηθεί από το πώς θα βαθμολογηθούν κι όχι μόνο από το αν απάντησαν σωστά, ασχολούμαστε (δικαίως επαναλαμβάνω) με ασήμαντα από μαθηματικής άποψης ζητήματα. Είναι μια ακόμη από τις βλαβερές για τη μάθηση παρενέργειες των εξετάσεων.
Όπως πολύ σωστά είπε ο Δημήτρης, αν ξεχάσουμε τις εξετάσεις η απάντηση είναι σωστή. Ωραία το έδειξε με τα πετυχημένα του παραδείγματα και ο bilstef (συγνώμη που δεν θυμάμαι το όνομα). Σας θυμίζω το, κατά τη γνώμη τραγικό, ερώτημα στις προπέρσινες -αν δεν κάνω λάθος- εξετάσεις, με την απόδειξη του τύπου της παραγώγου του ln|x|. Πόσο μας ενθουσιάζει που κριτήριο εισαγωγής είναι το αν θυμάται ο μαθητής ότι έχει προηγηθεί αναπόδεικτος ο τύπος για την παράγωγο του λογαρίθμου και απλώς εδώ αρκεί να διακρίνουμε περιπτώσεις για το πρόσημο του χ; Άριστος μαθητής μου δεν το απάντησε, κι ήταν το μόνο που δεν απάντησε, γιατί δεν μπόρεσε να βρει το όριο του λόγου μεταβολής.
Τα θέματα των εξετάσεων στα μαθηματικά δεν επιτρέπεται να είναι κουίζ της μορφής: "Για πες μου απ' έξω το τάδε" λες και γράφουν ιστορία. Παπαγαλία και στα μαθηματικα; Έλεος!

[k-ser]

Πριν λίγα χρόνια, το 2007 αν θυμάμαι καλά, μαθητής μου έγραψε 18 στις πανελλήνιες, απαντώντας σε όλα τα θέματα εκτός από την ερώτηση θεωρίας: Να αποδείξετε ότι η παράγωγος του ln|x| είναι 1/x. Προσπαθούσε να κάνει την απόδειξη με τον ορισμό της παραγώγου, θεωρώντας ότι έχει να κάνει με κάποιο θεώρημα που έχει το βιβλίο και δεν το πρόσεξε! - Είχε υπόψιν του ότι στο 1ο θέμα ζητείται η απόδειξη κάποιου θεωρήματος! Δεν είχε προσέξει τα "ψιλά" γράμματα του βιβλίου που κάνουν την απόδειξη(;) με τη βοήθεια των κανόνων παραγώγισης.

Σας θυμίζω το, κατά τη γνώμη τραγικό, ερώτημα στις προπέρσινες -αν δεν κάνω λάθος- εξετάσεις, με την απόδειξη του τύπου της παραγώγου του ln|x|. Πόσο μας ενθουσιάζει που κριτήριο εισαγωγής είναι το αν θυμάται ο μαθητής ότι έχει προηγηθεί αναπόδεικτος ο τύπος για την παράγωγο του λογαρίθμου και απλώς εδώ αρκεί να διακρίνουμε περιπτώσεις για το πρόσημο του χ; Άριστος μαθητής μου δεν το απάντησε, κι ήταν το μόνο που δεν απάντησε, γιατί δεν μπόρεσε να βρει το όριο του λόγου μεταβολής.

Μια διευκρίνηση - απαραίτητη αφού ο αγαπητός Στέλιος... δεν με διαβάζει: Δεν είμαι το ίδιο πρόσωπο με το Στέλιο Μαρίνη και βέβαια, δεν μιλάμε για τον ίδιο μαθητή!

...και μια παράκληση - δεν έχει να κάνει με το Στέλιο ή τουλάχιστον μόνο με το Στέλιο:

Σε μια συζήτηση, καλόν είναι να "ακούμε", προσεκτικά αν είναι δυνατόν, τα λεγόμενα του συνομιλητή μας και να προσπαθούμε να κατανοήσουμε τις σκέψεις του πριν τοποθετηθούμε! Πολλές φορές έχω την εντύπωση ότι ακούμε και απαντάμε σ' αυτό που φανταζόμαστε ότι είπε ο συνομιλητής μας.
Ας μην ξεχνάμε, ότι δεν είναι και το πιο εύκολο να βρεις τις λέξεις και τον τρόπο να πεις αυτό ακριβώς που σκέφτεσαι, αυτό ακριβώς που αισθάνεσαι.

Να είστε όλοι καλά.
Έτσι κι αλλιώς, πολλά μαθαίνω από κάθε συζήτηση.

[Στέλιος Μαρίνης]

Πριν λίγα χρόνια, το 2007 αν θυμάμαι καλά, μαθητής μου έγραψε 18 στις πανελλήνιες, απαντώντας σε όλα τα θέματα εκτός από την ερώτηση θεωρίας: Να αποδείξετε ότι η παράγωγος του ln|x| είναι 1/x. Προσπαθούσε να κάνει την απόδειξη με τον ορισμό της παραγώγου, θεωρώντας ότι έχει να κάνει με κάποιο θεώρημα που έχει το βιβλίο και δεν το πρόσεξε! - Είχε υπόψιν του ότι στο 1ο θέμα ζητείται η απόδειξη κάποιου θεωρήματος! Δεν είχε προσέξει τα "ψιλά" γράμματα του βιβλίου που κάνουν την απόδειξη(;) με τη βοήθεια των κανόνων παραγώγισης.

Σας θυμίζω το, κατά τη γνώμη τραγικό, ερώτημα στις προπέρσινες -αν δεν κάνω λάθος- εξετάσεις, με την απόδειξη του τύπου της παραγώγου του ln|x|. Πόσο μας ενθουσιάζει που κριτήριο εισαγωγής είναι το αν θυμάται ο μαθητής ότι έχει προηγηθεί αναπόδεικτος ο τύπος για την παράγωγο του λογαρίθμου και απλώς εδώ αρκεί να διακρίνουμε περιπτώσεις για το πρόσημο του χ; Άριστος μαθητής μου δεν το απάντησε, κι ήταν το μόνο που δεν απάντησε, γιατί δεν μπόρεσε να βρει το όριο του λόγου μεταβολής.

Μια διευκρίνηση - απαραίτητη αφού ο αγαπητός Στέλιος... δεν με διαβάζει: Δεν είμαι το ίδιο πρόσωπο με το Στέλιο Μαρίνη και βέβαια, δεν μιλάμε για τον ίδιο μαθητή!

...και μια παράκληση - δεν έχει να κάνει με το Στέλιο ή τουλάχιστον μόνο με το Στέλιο:

Σε μια συζήτηση, καλόν είναι να "ακούμε", προσεκτικά αν είναι δυνατόν, τα λεγόμενα του συνομιλητή μας και να προσπαθούμε να κατανοήσουμε τις σκέψεις του πριν τοποθετηθούμε! Πολλές φορές έχω την εντύπωση ότι ακούμε και απαντάμε σ' αυτό που φανταζόμαστε ότι είπε ο συνομιλητής μας.
Ας μην ξεχνάμε, ότι δεν είναι και το πιο εύκολο να βρεις τις λέξεις και τον τρόπο να πεις αυτό ακριβώς που σκέφτεσαι, αυτό ακριβώς που αισθάνεσαι.

Να είστε όλοι καλά.
Έτσι κι αλλιώς, πολλά μαθαίνω από κάθε συζήτηση.

Κώστα, συγνώμη, αυτό ειδικά δεν το πρόσεξα. Εξάλλου η τοποθέτησή μου ήταν γενική και δεν θεωρώ ότι απαντούσα σε κανέναν.