Maximum!

#1

Ας είναι $\displaystyle{a_1,a_2,...,a_n}$ ( $\displaystyle{n>3}$ ) πραγματικοί αριθμοί, για τους οποίους ισχύει

$\displaystyle{a_1+a_2+...+a_n\geq n}$ και $\displaystyle{a^{2}_1+a^{2}_2+...+a^{2}_n\geq n^2.}$

Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{\max (a_1,a_2,...,a_n)\geq 2.}$

Παναγιώτης 1729 · #2

Μία λύση με κάθε επιφύλαξη για την ορθότητά της:
Προφανώς οι $a_{1},...,a_{n}$ δεν μπορεί να είναι όλοι αρνητικοί.
Αν είναι όλοι μη αρνητικοί το ζητούμενο είναι προφανές, διότι $n*max(a_{1}^2,...,a_{n}^2)\geq{n^2}\geq{4n}$ .
Έστω τώρα ότι ανάμεσα στους $a_{1},...,a_{n}$ υπάρχουν

αρνητικοί και m=n-k

μη αρνητικοί. Με βάση την ιδιότητά τους αυτή τους χωρίζουμε σε δύο ομάδες $x_{1},...,x_{m}$ και $-y_{1},...,-y_{k}$ όπου $x_{1},...,x_{m},y_{1},...,y_{k}\geq{0}$ . Δίχως βλάβη της γενικότητας υποθέτουμε ότι $x_{1}=max({x_{1},...,x_{m})}$ . Αρκεί να αποδείξω ότι $x_1\geq{2}$ . Έστω ότι x_1<2

Από τις αρχικές συνθήκες έχουμε $2m>x_{1}+...+x_{m}\geq{m+k+y_{1}+...+y_{k}}$ άρα y_1+...+y_k<m-k

.
Συνεπώς:
$4m+(m-k)^2>mx_1^2+(m-k)^2\geq{x_1^2+...+x_m^2+(y_1+...+y_k)^2}\geq{x_1^2+...+x_m^2+y_1^2+...+y_k^2}\geq{(m+k)^2}$

Από αυτές έχουμε k<1

άτοπο.

Maximum!

Maximum!

Re: Maximum!

Μέλη σε σύνδεση