Πολυώνυμο 3

#1

Αν για τα πολυώνυμα P(x),Q(x),R(x),S(x)

ισχύει $P(x^{5})+xQ(x^{5})+x^{2}R(x^{5})=(x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1)S(x)$ , ας δειχθεί ότι το x-1

είναι παράγοντας του P(x)

.

#2

Συμβολίζουμε με $r_k=e^{2k\pi i /5}}, k=1,2,3,4$ τις μη μοναδιαίες

-ρίζες της μονάδος. Τότε αυτές είναι ρίζες του πολυωνύμου x^4+x^3+x^2+x+1

και ισχύει $r_k=r_1^{k}$ για k=2,3,4

.

Θέτοντας λοιπόν διαδοχικά x=1

και

για

παίρνουμε

$P(1)+Q(1)+R(1)=5S(1) \ \ (1)$
$P(1)+r_1Q(1)+r_1^2R(1)=0 \ \ (2)$
$P(1)+r_1^2Q(1)+r_1^4R(1)=0 \ \ (3)$
$P(1)+r_1^3Q(1)+r_1R(1)=0 \ \ (4)$
$P(1)+r_1^4Q(1)+r_1^3R(1)=0 \ \ (5)$

Προσθέτωντας τις παραπάνω παίρνουμε τελικά ότι $P(1)=S(1) \ \ (6).$

Πολλαπλασιάζοντας τη (2)

επί

και αφαιρώντας από την (3)

παίρνουμε

δηλαδή $R(1)=\displaystyle\frac{1}{r_1^3}P(1) \ \ (7)$

Πολλαπλασιάζοντας την (5)

επί

και αφαιρώντας από την (3)

παίρνουμε

δηλαδή $Q(1)=\displaystyle\frac{1}{1+r_1}P(1) \ \ (8)$

Βάζοντας τις (6),(7),(8)

στη σχέση

τελικά παίρνουμε το ζητούμενο.

Αλέξανδρος

#3

Δες την Α 11 στο viewtopic.php?f=21&t=145

Πολυώνυμο 3

Πολυώνυμο 3

Re: Πολυώνυμο 3

Re: Πολυώνυμο 3

Μέλη σε σύνδεση