Τι ιδιότητα έχει το σημείο Μ

[Demis Perdi]

Καλησπέρα συνάδελφοι.Επισυνάπτω ένα σχήμα από το geogebra που έφτιαξα με την αφορμή που μου έδωσε ένας μαθητής μου που ασχολείται μόνο με τα μαθηματικά. Βρήκε κάπου σε μια σελίδα το παρακάτω σχήμα το οποίο παριστάβει ένα τρίγωνο του οποίου οι κορυφές αποτελούν κεντρα των κύκλων και το σημείο Μ είναι το σημείο τομής των ευθειών που ενώνουν τα σημεία τομής των κύκλων ανα 2 αν κατάλαβα καλά.Με ρώτησε τι ιδιότητα έχει το σημείο Μ και πως λέγεται.Έχει κανείς σας καμιά ιδέα?
Σας ευχαριστώ εκ των προτέρων

σημείο_3.png (73.6 KiB) Προβλήθηκε 936 φορές

[KDORTSI]

Είναι το ριζικό κέντρο των τριών αυτών κύκλων.
Με άλλα λόγια: είναι το μοναδικό σημείο του επιπέδου των τριών αυτών σημείων που
έχει την ίδια δύναμη ως προς τους τρείς αυτούς κύκλους.

Σημείωση:

ή ακόμα:

όπου:

οι ακτίνες των τριών αυτών κύκλων με κέντρα τα Α,Β,C αντίστοιχα.

[Mihalis_Lambrou]

<...> το σημείο Μ είναι το σημείο τομής των ευθειών που ενώνουν τα σημεία τομής των κύκλων ανα 2 <...>

Το αποτέλεσμα αυτό, συγκεκριμένα

"Οι κοινές χορδές τριών τεμνόμενων ανά δύο κύκλων, συντρέχουν" είναι κλασικό και γνωστό αποτέλεσμα, που υπάρχει σε όλες τις παλιές γεωμετρίες. Κάποτε διδασκόταν στα Σχολεία. Η συνηθισμένη του λύση είναι αυτή που αναφέρει ο Κώστας παραπάνω αλλά υπάχουν και άλλες. Μία κομψότατη είναι με χρήση τρισδιάστατου επιχειρήματος.

Να και μία ενδιαφέρουσα εφαρμογή του, όχι τόσο γνωστή αν και πρόκειται για απλή απόδειξη κλασσικότατου θεωρήματος:

Αν πάρουμε δύο ύψη ΒΕ, ΓΖ ενός τριγώνου ΑΒΓ, τότε το ΒΓΕΖ είναι βέβαια εγράψιμμο. Εξετάζουμε τον κύκλο ΒΓΕΖ και κάνουμε το ίδιο για τα άλλα δύο ζεύγη υψών.
Προφανώς τα τρία ύψη του τριγώνου είναι οι κοινές χορδές αυτών των κύκλων, άρα συντρέχουν.
Συμπέρασμα, δείξαμε ότι τα ύψη τριγώνου συντρέχουν.

Φιλικά,

Μιχάλης