ν-ρίζα

KapioPulsar · #1

Να αποδείξετε ότι, αν δεν ισχύουν ταυτόχρονα α<0 και ν άρτιος, τότε υπάρχει μια ν-οστή ριζα του πραγματικού αριθμού α.

Ιστοσελίδα · #2

Αν

τότε προφανώς $\sqrt[n]{0} = 0.$

Αν a > 0

τότε το πρόβλημα είναι ισοδύναμο με το ότι η εξίσωση x^n = a

έχει μοναδική θετική ρίζα.
Θεωρούμε την συνάρτηση f(x) = x^n-a.

Η

είναι συνεχής στο διάστημα [0 , a+1]

και
$f(0) = -a < 0 \; , \; f(a+1) = (a+1)^n - a \geq 1+na-a = 1 +(n-1)a > 0.$
Η

είναι γνησίως αύξουσα στο $[0, +\infty)$ , επομένως η εξίσωση έχει μοναδική θετική ρίζα.

Αν a < 0

και

περιττός αυτό που θα μπορούσαμε να ζητήσουμε (αφού δεν έχουμε ορίσει ρίζα αρνητικού) είναι ότι η εξίσωση x^n = a

έχει μοναδική αρνητική ρίζα.
Η συνάρτηση f(x) = x^n-a

είναι συνεχής στο διάστημα [a-1 , 0]

και
$f(0) = -a > 0 \; , \; f(a-1) = (a-1)^n - a = -(1-a)^n-a \leq -(1-na)-a =$ -1 +(n-1)a < 0.

Η

είναι γνησίως αύξουσα στο $(-\infty , 0]$ , επομένως η εξίσωση έχει μοναδική αρνητική ρίζα.