Μονότονη ακολουθία

#1

Έστω η ακολουθία $\left({\alpha_{\nu}}\right)_{\nu\in\mathbb{N}}$ μέ $\alpha_{\nu}=\displaystyle\frac{1}{\nu}\left({1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots+\frac{1}{\nu}}\right)$ .
α) Νά αποδειχθεί ότι η $\left({\alpha_{\nu}}\right)_{\nu\in\mathbb{N}}$ είναι μονότονη.
β) Είναι η $\left({\alpha_{\nu}}\right)_{\nu\in\mathbb{N}}$ συγκλίνουσα; Άν ναί, ποιό είναι τό όριό της;

Αλυτη άσκηση από τόν Απειροστικό Λογισμό τού Σ. Ντούγια ( γιά τήν οποία έχω βρεί μία λύση )

dement · #2

Ισχυει ο αναδρομικος τυπος $a_{\nu + 1} = \frac{\nu}{\nu + 1} a_{\nu} + \frac{1}{(\nu + 1)^2}$ . Αφου λοιπον $a_{\nu} > \frac{1}{\nu + 1}$ , εχουμε

$\frac{a_{\nu}}{\nu + 1} > \frac{1}{(\nu + 1)^2} \Longrightarrow a_{\nu} > \frac{\nu}{\nu + 1} a_{\nu} + \frac{1}{(\nu + 1)^2} = a_{\nu + 1}$ και η $(a_{\nu})$ ειναι γνησιως φθινουσα.

Επισης, αφου $\sum_{k=1}^\nu \frac{1}{k} < 1 + \ln \nu$ ισχυει οτι $0 < a_{\nu} < \frac{1 + \ln \nu}{\nu}$ και συνεπως $\lim_{\nu \to \infty} a_{\nu} = 0$

Ευχες σε ολους,

Δημητρης

#3

Κομψότατη η εύρεση τής μονοτονίας τού Δημήτρη. Παραθέτω καί τήν δικιά μου λύση:

α) $\displaystyle\frac{\nu}{\nu+1}<1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots+\frac{1}{\nu}\quad\Leftrightarrow$

$\displaystyle\frac{1}{\nu+1}<\frac{1}{\nu}\left({1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots+\frac{1}{\nu}}\right)\quad\Leftrightarrow$

$\displaystyle\frac{1}{\nu+1}-\frac{1}{\nu}\left({1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots+\frac{1}{\nu}}\right)<0\quad\Leftrightarrow$

$\displaystyle\frac{1}{(\nu+1)^2}-\frac{1}{\nu(\nu+1)}\left({1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots+\frac{1}{\nu}}\right)<0\quad\Leftrightarrow$

$\displaystyle\frac{1}{(\nu+1)^2}+\left({\frac{1}{\nu+1}-\frac{1}{\nu}}\right)\left({1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots+\frac{1}{\nu}}\right)<0\quad\Leftrightarrow$

$\displaystyle\frac{1}{(\nu+1)^2}+\frac{1}{\nu+1}\left({1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots+\frac{1}{\nu}}\right)-\frac{1}{\nu}\left({1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots+\frac{1}{\nu}}\right)<0\quad\Leftrightarrow$

$\displaystyle\frac{1}{\nu+1}\left({1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots+\frac{1}{\nu}+\frac{1}{\nu+1}}\right)-\frac{1}{\nu}\left({1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots+\frac{1}{\nu}}\right)<0\quad\Leftrightarrow$

$\displaystyle\frac{1}{\nu+1}\left({1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots+\frac{1}{\nu}+\frac{1}{\nu+1}}\right)<\frac{1}{\nu}\left({1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots+\frac{1}{\nu}}\right)$ .

Επομένως η ακολουθία $\left({\alpha_{\nu}}\right)_{\nu\in\mathbb{N}}$ είναι γνησίως φθίνουσα.
β) Επειδή, $\forall\,\nu\in\mathbb{N}$ , ισχύει $0<\alpha_{\nu}=\frac{1}{\nu}\left({1+\frac{1}{2}+\dots+\frac{1}{\nu}}\right)<1=\alpha_1$ (1), η ακολουθία είναι καί φραγμένη, άρα καί συγκλίνουσα, καί μάλιστα $\mathop{\lim}\limits_{\nu\rightarrow{+\infty}}\alpha_{\nu}=\inf\lbrace{\alpha_{\nu}:\,\nu\in\mathbb{N}}\rbrace$ .
Επειδή γιά $\varepsilon>0$ , άν επιλεγεί $\nu>\displaystyle\frac{1}{|\varepsilon-1|}$ , ισχύει
$\displaystyle\frac{1}{\nu}\left({1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots+\frac{1}{\nu}}\right)<\frac{1+\nu}{\nu}={\frac{1}{\nu}}+1<\varepsilon=0+\varepsilon$ καί λόγω τής (1) προκύπτει ότι $\inf\lbrace{\alpha_{\nu}:\,\nu\in\mathbb{N}}\rbrace=0$ .
Άρα $\mathop{\lim}\limits_{\nu\rightarrow{+\infty}}\alpha_{\nu}=0$ . $\square$

Υ.Γ. Άν οι λύσεις πού δίνω στίς ασκήσεις τού συγκεκριμένου βιβλίου βασίζονται, σέ όσο δυνατόν, στοιχειώδεις έννοιες, είναι γιατί ακολουθώ τήν θεωρία τού βιβλίου.

#4

Για να μην μπλέξουμε τον λογάριθμο στην αρμονική σειρά θυμόμαστε όσον αφορά το όριο ότι αν
$a_n\rightarrow a$ τότε $\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}\rightarrow a$

#5

Το δεύτερο ερώτημα μπορεί να απαντηθεί "με το μάτι" αν στηριχθούμε σε μία γνωστή πρόταση που αποδίδεται στον Cesaro:
Aν η ακολουθία $\left( a_{n}\right)$ έχει όριο τον $\ell \in \mathbb{R}$ τότε και η ακολουθία $\frac{a_{1}+a_{2}+...+a_{n}}{n}$ έχει επίσης όριο το $\ell$ .
Η πρόταση αυτή είναι ενδιαφέρουσα και την αφήνω σαν άσκηση. Εγώ την πρωτοέμαθα από σχολικό βιβλίο της εποχής μου (το θρυλικό βιβλίο του Ντζιώρα) όπου πράγματι υπήρχε ως άσκηση.
Μαυρογιάννης

ΥΓ Ροδόλφε δεν το ειδα γιατί έγραφα. Ας είναι. Τουλάχιστον θυμηθήκαμε τη νιότη μας.

#6

R BORIS έγραψε:Για να μην μπλέξουμε τον λογάριθμο στην αρμονική σειρά θυμόμαστε όσον αφορά το όριο ότι αν
$a_n\rightarrow a$ τότε $\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}\rightarrow a$

Πιο απλή και κομψή από τη λύση του Ροδόλφου (και συγχρόνως του Νίκου) δεν γίνεται.
Όμως να κάνω ένα σχόλιο ... μπλέκοντας τον λογάριθμο στην αρμονική σειρά.

Είναι γνωστό ότι η αρμονική σειρά είναι ασυμπτωτική με την ln(n). Έτσι έχουμε μία καλή εκτίμηση του "πόσο γρήγορα τείνει στο 0 η ακολουθία;"
Απάντηση: όπως η $\frac{ln(n)}{n}$ .

Μ.

Μονότονη ακολουθία

Μονότονη ακολουθία

Re: Μονότονη ακολουθία

Re: Μονότονη ακολουθία

Re: Μονότονη ακολουθία

Re: Μονότονη ακολουθία

Re: Μονότονη ακολουθία

Μέλη σε σύνδεση