Συνέχεια της f

KapioPulsar · #1

Να αποδειχτεί η πρόταση :

Έστω $X \subset \mathbb{R}$ ένα πυκνό σύνολο και $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ μια συνάρτηση ώστε $\forall x \in \mathbb{R}$ η ${f | X \cup {x}$ είναι συνεχής .
Τότε η f είναι συνεχής.

#2

Έστω $\displaystyle{x \in \mathbb{R}}$ και ακολουθία πραγματικών αριθμών $\displaystyle{\left( {{x_n}} \right)}$ με $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {x_n} = x}$ . Θα αποδείξουμε ότι $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } f\left( {{x_n}} \right) = f\left( x \right)}$ .

Εφόσον το σύνολο $\displaystyle{{\rm X}}$ είναι πυκνό στο $\mathbb{R}$ , για κάθε $\displaystyle{n = 1,2, \ldots }$ υπάρχει ακολουθία $\displaystyle{\left( {y_m^n} \right)_{m = 1}^\infty }$ στοιχείων του $\displaystyle{{\rm X}}$ , ώστε $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{m \to \infty } y_m^n = {x_n}}$ .
Από την υπόθεση, θα είναι $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{m \to \infty } f\left( {y_m^n} \right) = f\left( {{x_n}} \right)}$ για κάθε $\displaystyle{n = 1,2, \ldots }$ .

Επομένως, υπάρχει υπακολουθία $\displaystyle{\left( {y_{{k_n}}^n} \right)_{n = 1}^\infty }$ της $\displaystyle{\left( {y_m^n} \right)_{m = 1}^\infty }$ ώστε να ισχύουν
$\displaystyle{\left| {y_{{k_n}}^n - {x_n}} \right| < \frac{1}{n}}$
και
$\displaystyle{\left| {f\left( {y_{{k_n}}^n} \right) - f\left( {{x_n}} \right)} \right| < \frac{1}{n}}$
για κάθε $\displaystyle{n = 1,2, \ldots }$ .

Αφού έχουμε ότι $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {x_n} = x}$ , θα είναι και $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } y_{{k_n}}^n = x}$ , οπότε από την υπόθεσή μας προκύπτει ότι $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } f\left( {y_{{k_n}}^n} \right) = f\left( x \right).}$

Αφού όμως είναι $\displaystyle{\left| {f\left( {y_{{k_n}}^n} \right) - f\left( {{x_n}} \right)} \right| < \frac{1}{n}}$ για κάθε $\displaystyle{n = 1,2, \ldots }$ , προκύπτει ότι $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } f\left( {{x_n}} \right) = f\left( x \right)}$ και το συμπέρασμα έπεται.

Συνέχεια της f

Συνέχεια της f

Re: Συνέχεια της f

Μέλη σε σύνδεση