Λογαριθμικη

nonlinear · #1

Εαν για τους πραγματικούς $\displaystyle{{x_i} > 0}$ ισχύει $\displaystyle{\sum\limits_{i = 1}^n {x_i^2} = 1}$ να δείξετε ότι

$\displaystyle{{\left( {\frac{{{{\log }_{{x_1}}}{x_2}}}{{{x_1}}}} \right)^2} + {\left( {\frac{{{{\log }_{{x_2}}}{x_3}}}{{{x_2}}}} \right)^2} + ... + {\left( {\frac{{{{\log }_{{x_{n - 1}}}}{x_n}}}{{{x_{n - 1}}}}} \right)^2} + {\left( {\frac{{{{\log }_{{x_n}}}{x_1}}}{{{x_n}}}} \right)^2} \ge {n^2}}$

#2

nonlinear έγραψε:Εαν για τους πραγματικούς $\displaystyle{{x_i} > 0}$ ισχύει $\displaystyle{\sum\limits_{i = 1}^n {x_i^2} = 1}$ να δείξετε ότι

$\displaystyle{{\left( {\frac{{{{\log }_{{x_1}}}{x_2}}}{{{x_1}}}} \right)^2} + {\left( {\frac{{{{\log }_{{x_2}}}{x_3}}}{{{x_2}}}} \right)^2} + ... + {\left( {\frac{{{{\log }_{{x_{n - 1}}}}{x_n}}}{{{x_{n - 1}}}}} \right)^2} + {\left( {\frac{{{{\log }_{{x_n}}}{x_1}}}{{{x_n}}}} \right)^2} \ge {n^2}}$

Είναι απλή συνέπεια της ανισότητας ΑΜ-ΓΜ, αν αυτή εφαρμοστεί 2 φορές:

$\displaystyle{\sum_{i=1}^{n} \left(\frac{\log_{x_i}x_{i+1}}{x_i} \right)^2\geq n\sqrt[n]{\frac{1}{x_1x_2...x_n}}^2}$ , αφού το γινόμενο των λογαρίθμων ισούται με $\displaystyle{1}$ :

$\displaystyle{\log_{x_1}x_2\cdot \log_{x_2}x_3\cdot \log_{x_3}x_4\cdots \log_{x_n}x_1=\frac{\ln x_2}{\ln x_1}\cdot \frac{\ln x_3}{\ln x_2}\cdot \frac{\ln x_4}{\ln x_3}\cdots \frac{\ln x_1}{\ln x_n}=1}$ .

Αρκεί, πλέον, να αποδειχθεί, ότι

$\displaystyle{1\geq n\sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n}^2,}$ το οποίο ισχύει από την ανισότητα ΑΜ-ΓΜ, αφού είναι $\displaystyle{x^{2}_{1}+x^{2}_{2}+\cdots x^{2}_{n}=1.}$

Λογαριθμικη

Λογαριθμικη

Re: Λογαριθμικη

Μέλη σε σύνδεση