Πεδίο ορισμού και παράγωγος

andreas · #1

Καλησπέρα
Να βρεθεί το πεδίο ορισμού και η παράγωγος της:
$F(x)=\int_{lnx}^{1+lnx}{\sqrt{t^2-1}}dt$
Μπορώ να έχω μια αναλυτική απάντηση;

Ανδρέας

#2

andreas έγραψε:Καλησπέρα
Να βρεθεί το πεδίο ορισμού και η παράγωγος της:
$F(x)=\int_{lnx}^{1+lnx}{\sqrt{t^2-1}}dt$
Μπορώ να έχω μια αναλυτική απάντηση;

Ανδρέας

Jawohl!

Το πεδίο ορισμού της $\displaystyle{\sqrt{t^2-1}}$ είναι το $\displaystyle{(-\infty,-1]\cup{}[1,+\infty)}$ .

Πρέπει λοιπόν, να ισχύει $\displaystyle{\ln x,1+\ln x\in (-\infty,-1]}$ ή $\displaystyle{\ln x,1+\ln x\in [1,+\infty).}$

Στην πρώτη περίπτωση βρίσκουμε εύκολα $\displaystyle{0<x\leq e^{-2}}$ , ενώ στη δεύτερη $\displaystyle{x\geq e.}$

Επομένως, το πεδίο ορισμού της $\displaystyle{F}$ είναι το $\displaystyle{D_F=(0, e^{-2}]\cup [e,+\infty).}$

Για την εύρεση της παραγώγου, γράφουμε

$\displaystyle{F(x)=\int_{\ln x}^{a}\sqrt{t^2-1}dt+\int_{a}^{1+\ln x}\sqrt{t^2-1}dt=\int_{a}^{1+\ln x}\sqrt{t^2-1}dt-\int_{a}^{\ln x}\sqrt{t^2-1}dt}$ , όπου $\displaystyle{a}$ κάποιος αριθμός του $\displaystyle{(-\infty,-1]}$ ή του $\displaystyle{[1,+\infty)}$ (ανάλογα με το για ποια $\displaystyle{x}$ του πεδίου ορισμού δουλεύουμε) και έχουμε

$\displaystyle{F^{\prime}(x)=\sqrt{(1+\ln x)^2-1}(1+\ln x)^{\prime}-\sqrt{(\ln x)^2-1}(\ln x)^{\prime}=\frac{\sqrt{(\ln x)^2-2\ln x}-\sqrt{(\ln x)^2-1}}{x}.}$

(*) Ξέχασα να βάλω και τον περιορισμό $\displaystyle{x>0.}$ Ευχαριστώ ΑΡΟ.

Α.Κυριακόπουλος · #3

andreas έγραψε:Καλησπέρα
Να βρεθεί το πεδίο ορισμού και η παράγωγος της:
$F(x)=\int_{lnx}^{1+lnx}{\sqrt{t^2-1}}dt$
Μπορώ να έχω μια αναλυτική απάντηση;

Ανδρέας

Η συνάρτηση: $f(t) = \sqrt {{t^2} - 1}$ είναι ορισμένη και συνεχής στο σύνολο: ${\rm A} = ( - \infty , - 1] \cup [1, + \infty )$ . Η συνάρτηση: $h(x) = \ln x$ είναι ορισμένη στο σύνολο: ${\rm B} = (0, + \infty )$ και η συνάρτηση: $h(x) = \ln x$ είναι ορισμένη στο σύνολο: $\Gamma = (0, + \infty )$ .
• Ένας αριθμός $x \in R$ ανήκει στο σύνολο ορισμού της συνάρτησης: $F(x) = \int\limits_{\ln x}^{1 + \ln x} {\sqrt {1 - {t^2}} dt}$ αν, και μόνο αν, $x \in ({\rm B} \cap \Gamma )$ και η συνάρτηση f είναι ορισμένη και συνεχής στο κλειστό διάστημα με άκρα τους αριθμούς h(x) και g(x) (βλέπε και εδώ ). Έτσι λοιπόν ένας αριθμός ανήκει στο σύνολο ορισμού της συνάρτησης F αν, και μόνο αν:
$\displaystyle{\left( {\left\{ \begin{array}{l} x > 0 \\ \ln x \le - 1 \\ 1 + \ln x \le - 1 \\ \end{array} \right.\dot \eta \left\{ \begin{array}{l} x > 0 \\ \ln x \ge 1 \\ 1 + \ln x \ge 1 \\ \end{array} \right.} \right) \Leftrightarrow \left( {\left\{ \begin{array}{l} x > 0 \\ 1 + \ln x \le - 1 \\ \end{array} \right.\dot \eta \left\{ \begin{array}{l} x > 0 \\ \ln x \ge 1 \\ \end{array} \right.} \right) \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{ \Leftrightarrow \left( {\left\{ \begin{array}{l} x > 0 \\ \ln x \le - 2 \\ \end{array} \right.\dot \eta \left\{ \begin{array}{l} x > 0 \\ \ln x \ge 1 \\ \end{array} \right.} \right) \Leftrightarrow }$ $\displaystyle{\left( {\left\{ \begin{array}{l} x > 0 \\ x \le {e^{ - 2}} \\ \end{array} \right.\dot \eta \left\{ \begin{array}{l} x > 0 \\ x \ge e \\ \end{array} \right.} \right) \Leftrightarrow \left( {0 < x \le {e^{ - 2}}\dot \eta x \ge e} \right)}$
Άρα το σύνολο ορισμού της συνάρτησης F είναι: ${{\rm A}_F} = (0,{e^{ - 2}}] \cup [e, + \infty )$

Υ.Γ.
Θάνο, όταν είχα γράψει τη λύση είδα και την δική σου. Και είπα μια και την έγραψα…
Φιλικά.

andreas · #4

Σας ευχαριστώ πολύ και τους δύο!

Ανδρέας

Πεδίο ορισμού και παράγωγος

Πεδίο ορισμού και παράγωγος

Re: Πεδίο ορισμού και παράγωγος

Re: Πεδίο ορισμού και παράγωγος

Re: Πεδίο ορισμού και παράγωγος

Μέλη σε σύνδεση