Ασύγκριτα

KARKAR · #1

Στην κορυφή

ενός παραλληλογράμμου ABCD

με την γωνία

οξεία , φέρω κάθετη προς την

,

η οποία τέμνει τη διαγώνιο

, στο

. Αν

:

να συγκριθούν τα εμβαδά και οι περίμετροι των τριγώνων ABE

και

.

badoun · #2

Είναι η πρώτη μου προσπάθεια επίλυσης μιας άσκησης στο

οπότε θα ήθελα την κατανόησή σας!Αν είναι η άσκηση μόνο για μαθητές ζητώ συγνώμη αλλά δεν μπορούσα να αντισταθώ στον πειρασμό!!

Uploaded with ImageShack.us

Φέρνουμε $DF \perp AC$ και $EG \perp AD$ .
Από Πυθαγόρειο Θεώρημα έχουμε οτι:
$AE^2=BE^2+BA^2 \\ AE^2=3^2 + 4^2 \\ AE^2 = 9 + 16 \\ AE^2=25 \\AE=5$

Υπολογίζουμε τώρα το ημίτονο της γωνίας $\hat{BAE}=\phi$ κι έχουμε $\displaystyle{\eta\mu\hat{\phi}=\frac{3}{5}}$

Όμως $\hat{ACD}=\hat{\phi}$ ως εντός εναλλάξ.Έτσι στο ορθογώνιο τρίγωνο FCD έχουμε οτι :

$\displaystyle{\eta\mu\hat{\phi}=\frac{FD}{CD}} \\ \displaystyle{\frac{3}{5}=\frac{FD}{4}} \\ \displaystyle{FD= \frac{12}{5}}$

Υπολογίζουμε τώρα τα εμβαδά των προς σύγκριση τριγώνων κι έχουμε τα εξής συμπεράσματα:

$(ABE)=\frac{BE \cdot BA}{2}=\frac{3 \cdot 4}{2}=\frac{12}{2}=6$
$(AED)=\frac{AE \cdot FD}{2}=\displaystyle{\frac{\cancel{5} \cdot \frac{12}{\cancel{5}}}{2}}=6$

Άρα (ABE)=(AED)

Για να συγκρίνουμε τις περιμέτρους αρκεί να βρούμε το μήκος του ED...
Έχουμε οτι:
$(AED)=\frac{AD \cdot EG}{2} \Leftrightarrow 6=\frac{6\cdot EG}{2} \Leftrightarrow EG=2$

Απο Πυθαγόρειο Θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο AEG παίρνουμε οτι:
$AG^2=AE^2-EG^2 \Leftrightarrow AG=\sqrt{21}$
Άρα $GD=6-\sqrt{21}$
Απο Πυθαγόρειο Θεώρημα στο ορθογώνιο EGD:
$ED^2=EG^2+GD^2 = 2^2 + (6-\sqrt{21})^2=2^+6^2-2\cdot 6 \cdot (\sqrt{21})^2 = 61-\sqrt{21}$
και μετά απο χρήση του γνωστού κομπιουτερακίου

Άρα για τις περιμέτρους έχουμε οτι
$\pi(ABE)=4+5+3=12 \\ \pi(AED)=6+5+2,45=13,45$
άρα $\pi(ABE)< \pi(AED)$

Αυτή ήταν η λύση μου!Ελπίζω να τα έχω κάνει σωστά!

Υ.Γ. Τελικά είναι χρονοβόρο το να γράφεις με $\LaTeX$

irakleios · #3

: ΔΙΑΓΩΝΙΟΣ.png (56.64 KiB) Προβλήθηκε 1292 φορές

Mία διόρθωση : είναι 6 + 5 + x > 12 .

ps:υπάρχει τρό[ος να αποφύγουμε την τριγωνική ανισότητα αν θέλουμε .

badoun · #4

irakleios έγραψε:
ΔΙΑΓΩΝΙΟΣ.png

Ωραία πράγματα αυτά!!!Τελικά η κούραση παίζει μεγάλο ρόλο στην μη ενεργοποίηση της σκέψης!!!

Ασύγκριτα

Ασύγκριτα

Re: Ασύγκριτα

Re: Ασύγκριτα

Re: Ασύγκριτα

Μέλη σε σύνδεση