Μάλλον ξεφύγαμε !

KARKAR · #1

Για την δις παραγωγίσιμη συνάρτηση $\displaystyle f:\mathbb{R^{*}}\rightarrow \mathbb{R}$ ισχύουν : $\displaystyle f(1)=e , f(-1)=-\frac{1}{e} ,f^{\prime}(1)=0$

και $\displaystyle f^{\prime\prime}(x)=\frac{f(x)}{x^{4}}$ , $x\in\mathbb{R^{*}}$ . Δείξτε ότι : $\displaystyle f(x)=xe^\frac{1}{x} , x\in\mathbb{R^{*}}$ ( πειστική απάντηση !)

Έγινε συμπλήρωση , και διόρθωση του παρονομαστή .

Απολογούμαι για τη νυχτερινή ταλαιπωρία !

#2

Η f δεν επαληθεύει την σχέση

nikoszan · #3

Πρεπει ,να δοθει αλλη μια τιμη της f ειτε της παραγωγου της,για να καταληξουμε στο ζητουμενο.
[Θεωρουμε την συν. g(x)=x.f(1|x).e*(-x).......]

xgastone · #4

άσκηση 112 εδω...http://www.mathematica.gr/index.php?ind ... w&iden=353

#5

Φίλε xgastone,

η άσκηση στην οποία μας παραπέμπεις, είναι διαφορετική, αν και μοιάζει με αυτήν που προτάθηκε παραπάνω.
Επίσης, στο 3ο ερώτημα, μάλλον εννοείς

$\displaystyle{\left(\frac{x}{e} \right)^x\geq \frac{1}{e}.}$

xgastone · #6

Φυσικά και είναι διαφορετική αγαπητέ matha..
Έκανα αυτή την παραπομπή, για τους μαθητές μας, διότι είναι μια καλή άσκηση εύρεσης τύπου. Η άσκηση που πρότεινε ο συνάδελφος έχει πρόβλημα όπως δόθηκε.
‘Οσο για το ερώτημα 3, έχεις δίκαιο.

#7

Λύση από Νίκο Ζανταρίδη(nikoszan)

Θεωρούμε τη συνάρτηση:
$\displaystyle g(x)=xf(\frac{1}{x})e^{-x},\ \ x\neq 0$
Είναι:
$\displaystyle g''(x)=...=-2g'(x)\Leftrightarrow \left(g'(x)e^{2x} \right)'=0\Leftrightarrow g'(x)e^{2x}=\left\{\begin{matrix} c_1,\ \ x<0\\ c_2,\ \ x>0 \end{matrix}\right.$
$\displaystyle \Leftrightarrow ...\Leftrightarrow g(x)= \left\{\begin{matrix} a_1e^{-2x}+a_2,\ \ x<0\\ b_1e^{-2x}+b_2,\ \ x>0 \end{matrix}\right.\\\Leftrightarrow xf(\frac{1}{x})e^{-x}=\left\{\begin{matrix} a_1e^{-2x}+a_2,\ \ x<0\\ b_1e^{-2x}+b_2,\ \ x>0 \end{matrix}\right.$
$\displaystyle \Leftrightarrow f(\frac{1}{x})=\left\{\begin{matrix} \frac{a_1e^{-x}+a_2e^x}{x},\ \ x<0\\ \frac{b_1e^{-x}+b_2e^x}{x},\ \ x>0 \end{matrix}\right.$
$\displaystyle \Leftrightarrow f(x)=\left\{\begin{matrix} x(a_1e^{-\frac{1}{x}}+a_2e^{\frac{1}{x}}),\ \ x<0\\ x(b_1e^{-\frac{1}{x}}+b_2e^{\frac{1}{x}}),\ \ x>0 \end{matrix}\right.$
.... $\displaystyle f(1)=e,f(-1)=-\frac{1}{e},f'(1)=0$
..... $\displaystyle b_1=0,b_2=1$
..... $\displaystyle a_2=1-a_1e^2$
Άρα:
$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{matrix} x(a_1e^{-\frac{1}{x}}+(1-a_1e^2)e^{\frac{1}{x}}),\ \ x<0\\xe^{\frac{1}{x}}, \ \ x>0 \end{matrix}\right.$
όπου $\displaystyle a_1\in R$ σταθερά.(ικανοποιεί την υπόθεση)

Σημείωση
Αν δοθεί επιπλέον π.χ. ότι:
$\displaystyle f'(-1)=\frac{2}{e}$
τότε καταλήγουμε ότι:
$\displaystyle f(x)=xe^{\frac{1}{x}},x\neq 0$

Μάλλον ξεφύγαμε !

Μάλλον ξεφύγαμε !

Re: Μάλλον ξεφύγαμε !

Re: Μάλλον ξεφύγαμε !

Re: Μάλλον ξεφύγαμε !

Re: Μάλλον ξεφύγαμε !

Re: Μάλλον ξεφύγαμε !

Re: Μάλλον ξεφύγαμε !

Μέλη σε σύνδεση