Δεν υπάρχουν ακέραιοι..

KapioPulsar · #1

Αν για τον ακέραιο $\alpha$ ισχύει οτι $4|\alpha-3$ νδο δεν υπάρχουν ακέραιοι x,y

για τους οποίους έχουμε $x^2+y^2=\alpha$

KARKAR · #2

$4/(a-3)\Rightarrow a-3=4k\Rightarrow a=4k+3 , k \in Z$ .

Αν υπάρχουν x,y

, τέτοιοι ώστε $x^{2}+y^{2}=a$ , πρέπει προφανώς να είναι ένας άρτιος και ένας περιττός.

Έστω λοιπόν ότι : $(2m)^{2}+(2n+1)^{2}=4k+3\Leftrightarrow 4m^{2}+4n^{2}+4n+1=4k+3$

$\Leftrightarrow 4(m^{2}+n^{2}+n)+1=4k+3$ $\Leftrightarrow 4s+1=4k+3, k,m,n,s \in Z$ , άτοπο.

#3

Μία απλή λύση:

Έστω ότι υπάρχουν ακέραιοι $\displaystyle{x,y}$ με $\displaystyle{x^2+y^2=4k+3,}$ όπου $\displaystyle{k}$ ακέραιος.

Επειδή $\displaystyle{4k+3}$ είναι περιττός, ένας εκ των $\displaystyle{x,y}$ είναι περιττός και ο άλλος είναι άρτιος.

Έστω λοιπόν, $\displaystyle{x=2m,y=2n}$ με $\displaystyle{m,n }$ ακεραίους.

Τότε, λαμβάνουμε $\displaystyle{4m^2+4n^2+4n+1=4k+3}$ δηλαδή $\displaystyle{2m^2+2n^2+2n=2k+1,}$ άτοπο, αφού το αριστερό μέλος είναι άρτιος, ενώ το δεξί περιττός.

Δεν υπάρχουν ακέραιοι..

Δεν υπάρχουν ακέραιοι..

Re: Δεν υπάρχουν ακέραιοι..

Re: Δεν υπάρχουν ακέραιοι..

Μέλη σε σύνδεση