Κωνικές τομές

blondy · #1

$C:\frac{x^{2}}{10+8\sigma \upsilon \nu \theta}+\frac{y^{2}}{10-8\sigma \upsilon \nu \theta }=1$ , θ ανήκει $\left[\frac{\pi }{2} ,\frac{3\pi }{2} \right]$
1) Να βρείτε τί παριστάνει η C για κάθε τιμή του θ
2) Δίνεται το Μ $\left(\left|\alpha +2\beta \right|,\left|\alpha -2\beta \right| \right)$ , $\left|\alpha \right|=\left|\beta \right|=1$ όπου θ η γωνία των α και β , να δειχτεί ότι το Μ ανήκει στη C .

#2

1)Για τις τιμές $\displaystyle \theta =\frac{\pi }{2},\ \ \theta =\frac{3\pi }{2}$
είναι:
$\displaystyle cos\theta =0$
και η δοθείσα εξίσωση γίνεται:
$\displaystyle x^2+y^2=10$
η οποία παριστά κύκλο με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα
$\displaystyle r=\sqrt{10}$

Επειδή στο διάστημα:
$\displaystyle \left(\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2} \right)$
είναι
$\displaystyle cos\theta < 0$
η δοθείσα εξίσωση παριστά έλλειψη με στοιχεία:
$\displaystyle \alpha^2 =10+8cos\theta,\ \ \beta^2 =10-8cos\theta,\ \ \gamma ^2=\beta ^2-\alpha ^2=-16cos\theta>0$
άρα οι εστίες είναι
$\displaystyle E\left(0,4\sqrt{-cos\theta } \right),\ \ E'(0,-4\sqrt{-cos\theta })$
(Στο σχήμα φαίνεται ο κύκλος και η έλλειψη, και στο δυναμικό σχήμα όλες οι ενδιάμεσες μορφές)

2) Το σημείο Μ έχει συντεταγμένες:
$\displaystyle x=\left|\vec{\alpha } +2\vec{\beta }\right|,\ \ y=\left|\vec{\alpha } -2\vec{\beta }\right|$
άρα:
$\displaystyle x^2=\left|\vec{\alpha } +2\vec{\beta }\right|^2=\left(\vec{\alpha } +2\vec{\beta }\right)^2=\vec{\alpha }^2+4\vec{\beta}^2+4\vec{\alpha }\vec{\beta }=\\= \left|\vec{\alpha } \right|^2+4\left|\vec{\beta } \right|^2+4\left|\vec{\alpha } \right|\left|\vec{\beta } \right|cos\theta =5+4cos\theta$
Δηλαδή:
$\displaystyle x=\sqrt{5+4cos\theta }\ \ (1)$
όμοια:
$\displaystyle y=\sqrt{5-4cos\theta }\ \ (2)$
Οι τιμές αυτές προφανώς ικανοποιούν την εξίσωση της έλλειψης για κάθε τιμή της γωνίας θ στο διάστημα που αυτή ορίστηκε.

Σημείωση:
Οι τιμές $\displaystyle x, y$ των (1) και (2) ικανοποιούν και την
$\displaystyle x^2+y^2=10$
συνεπώς το σημείο Μ ανήκει και στον κύκλο $\displaystyle C(O,\sqrt{10})$

Στο δυναμικό σχήμα φαίνεται και η διαδικασία πρόσθεσης και διαφοράς των διανυσμάτων α, β και όλο το δρώμενο.

kost65 · #3

Αγαπητέ Κώστα Καλημέρα.
Το συνημμένο αρχείο ανοίγει αλλά δεν λέπω τίποτα.
Είναι κάποια ρύθμιση δική μου , ή υπάρχει πρόβλημα;

φιλικά
Αθανασιάδης Κώστας

#4

Κώστα καλημέρα.
Έχω την άποψη πως οφείλεται στο geogebra,
και ειδικότερα στις αναβαθμίσεις που γίνονται συνεχώς αυτή την εποχή.
Προσπάθησε να εγκαταστήσεις τις νεώτερες εκδόσεις κι ίσως το πετύχεις.
Εγώ το κατεβάζω με τη Java 6 και με το geogebra 4.0 beta Release.

Κώστας Δόρτσιος

blondy · #5

Ευχαριστώ πολύ.

kost65 · #6

Κώστα έχεις δίκιο , δούλεψε..

ευχαριστώ πολύ
Αθανασιάδης Κώστας

blondy · #7

Δίνεται η ευθεία 2x-y+4=0

και η εξίσωση της παραβολής $y^{2}=16x$ ( Η ευθεία και η παραβολή δεν έχουν κανένα κοινό σημείο ) και θέλει να δείξουμε ότι όταν ένα σημείο Μ κινείται πάνω στην ευθεία τότε τα σημεία επαφής των δύο εφαπτομένων στην παραβολή που άγονταιι από το Μ ορίζουν ευθείες που διέρχονται από σταθερό σημείο.

#8

Η εξίσωση της ΑΒ, δηλαδή της ευθείας που ορίζεται από τα σημεία επαφής A,B των εφαπτομένων
MA, MB που άγονται από το τυχαίο σημείο $\displaystyle M(x_o,y_o)$ της ευθείας:
$\displaystyle a:-2x+y=4$
προς την παραβολή:
$\displaystyle c:y^2=16x$
είναι:
$\displaystyle AB:yy_o=8(x+x_o)\ \ (1)$
Όμως οι συντεταγμένες του σημείου Μ ικανοποιούν τη σχέση:
$\displaystyle a:-2x_o+y_o=4\ \ (2)$
από τις (1) και (2) απαλοίφοντας το $\displaystyle y_o$ προκύπτει:
$\displaystyle \left(2y-8 \right)x_o=8x-4y\ \ (3)$
κι επειδή η τελευταία ισχύει για κάθε $\displaystyle x_o\in R$
θα είναι:
$\displaystyle \left\{\begin{matrix} 2y-8=0\\ 8x-4y=0 \end{matrix}\right.$
Άρα: $\displaystyle x=2,\ \ y=4$
Δηλαδή το σημείο $\displaystyle \Sigma \left(2,4 \right)$
ικανοποιεί πάντα την εξίσωσης της ΑΒ και συνεπώς η ΑΒ διέρχεται από
το σταθερό αυτό σημείο.

Κωνικές τομές

Κωνικές τομές

Re: Κωνικές τομές

Re: Κωνικές τομές

Re: Κωνικές τομές

Re: Κωνικές τομές

Re: Κωνικές τομές

Re: Κωνικές τομές

Re: Κωνικές τομές

Μέλη σε σύνδεση