3ο Θέμα

KARKAR · #1

Κύκλος $(K , \rho)$ εφάπτεται εσωτερικά του κύκλου (O , R)

στο σημείο

Από το αντιδιαμετρικό

του

φέρω εφαπτόμενη

στον εσωτερικό κύκλο .

Οι BD , AD

τέμνουν τον εξωτερικό κύκλο στα C , E

αντίστοιχα .

1) Να δειχθεί ότι : $\overset{\frown}{CE}=\overset{\frown}{EB}$

2) Αν BD=2DC

, να βρεθεί η σχέση που συνδέει τις ακτίνες $\rho , R$

badoun · #2

Για το πρώτο ερώτημα έχουμε την παρακάτω λύση...
Φέρνουμε την ακτίνα KD. Επειδή η BC είναι εφαπτομένη του εσωτερικού κύκλου έχουμε $KD\perp BC$ .
Επίσης $\hat{ACB}=90^{o}$ διότι βαίνει σε ημικύκλιο(στον μεγάλο κύκλο).Άρα AC // KD

.
Tώρα έχουμε:
$\hat{A_1}=\hat{D_1}$ (1) αφού το τρίγωνο KAD

είναι ισοσκελές(ΚΑ και ΚD ακτίνες του μικρού κύκλου)
$\hat{A_2}=\hat{D_1}$ (2) ως εντός εναλλάξ
Από (1) και (2) έχουμε οτι $\hat{A_1}=\hat{A_2}$ .
Άρα $\overset{\frown}{CE}=\overset{\frown}{EB}$ ως τόξα ίσων εγγεγραμμένων γωνιών(στον μεγάλο κύκλο).

(Δυστυχώς λόγω κάποιων υποχρεώσεων δεν έχω τώρα χρόνο να ασχοληθώ με το 2ο,θα το προσπαθήσω το βραδάκι)

hlkampel · #3

1) Αν Μ είναι το σημείο τομής της ΑΒ με τον εσωτερικό κύκλο τότε:
$\hat D_1 = \hat M_1$ γιατί η $\hat D_1$
είναι γωνία χορδής (AD) και εφαπτομένης (CD) στον εσωτερικό κύκλο και η $\hat M_1$
εγγεγραμμένη γωνία με αντίστοιχη χορδή την AD.
$\mathop {ACD}\limits^ \wedge = \mathop {ADM}\limits^ \wedge = 90^\circ$ ως εγγεγραμμένες σε δύο διαφορετικά ημικύκλια.
Τα ορθογώνια τρίγωνα ACD και ADM έχουν $\hat D_1 = \hat M_1$ και $\mathop {ACD}\limits^ \wedge = \mathop {ADM}\limits^ \wedge$
έτσι και $\hat A_1 = \hat A_2$ , οπότε, ως εγγεγραμμένες γωνίες στον μεγάλο κύκλο και τα αντίστοιχα τόξα τους είναι ίσα, δηλαδή τοξCE=τοξEB
2) Από Θ. εσωτερικής διχοτόμου στο τρίγωνο ACB έχουμε:
$\frac{{BD}}{{CD}} = \frac{{AB}}{{AC}} \Rightarrow \frac{{2CD}}{{CD}} = \frac{{2R}}{{AC}} \Rightarrow AC = R\;\left( 1 \right)$
Έτσι η AC πλευρά καν. εξαγώνου οπότε $\hat B = 30^\circ$
Από το ορθ. τρίγωνο BDK επειδή $\hat B = 30^\circ$ είναι:
$KD = \frac{{KB}}{2} \Rightarrow \rho = \frac{{AB - AK}}{2} \Rightarrow 2\rho = 2R - \rho \Rightarrow \rho = \frac{2}{3}R$

badoun · #4

Για το 2ο ζήτημα μία διαφορετική αντιμετώπιση:

Έχουμε οτι $BD=2DC \Rightarrow\displaystyle{\frac{CD}{CB}=\frac{1}{3}}$
Eπειδή AC//DK

απο Θ.Θαλή έχουμε οτι:
$\displaystyle{\frac{AK}{AB}=\frac{CD}{CB}\Rightarrow \frac{\rho}{2R}=\frac{1}{3}\Rightarrow \rho=\frac{2}{3}\cdot R$

3ο Θέμα

3ο Θέμα

Re: 3ο Θέμα

Re: 3ο Θέμα

Re: 3ο Θέμα

Μέλη σε σύνδεση