Συστήματα

erxmer · #1

Να λυθούν τα ακόλουθα συστήματα
1)
$x+y+z+w=10\\ x^2+y^2+z^2+w^2=30\\ x^3+y^3+z^3+w^3=100\\ xyzw=24$

2)
$x+y+z+u=5\\ y+z+u+v=1\\ z+u+v+x=2\\ u+v+x+y=0\\ v+x+y+z=4\\$

3)
$x+y+z=6\\ xy+yz+zx=11\\ xyz=6\\$

#2

erxmer έγραψε:Να λυθούν τα ακόλουθα συστήματα

2)
$x+y+z+u+(...)=5\\ (...)+y+z+u+v=1\\ x+(...)+z+u+v=2\\ x+y+(...)+u+v=0\\ x+y+z+(...)+v=4\\$

τις προσθέτουμε κατά μέλη και παίρνουμε: $x+y+z+u+v=3 \longrightarrow (x,y,z,u,v)=(2,1,3,-1,-2)$

badoun · #3

erxmer έγραψε:Να λυθούν τα ακόλουθα συστήματα

3)
$x+y+z=6\\ xy+yz+zx=11\\ xyz=6\\$

Έστω x , y , z οι λύσεις μιας εξίσωσης 3ου βαθμού. Τότε θέτοντας
$S_1=x+y+z \\ S_2=xy+zy+xz \\ S_3 = xyz$
και από τους τύπους του Vieta για να βρούμε τα x , y , z αρκεί να λύσουμε την εξίσωση ως προς k k^3-6k^2+11k-6=0

που αυτή δίνει λύσεις x=1,y=2,z=3

Εννοείται οτι οι λύσεις είναι όλες οι εναλλαγές δηλαδή
$x=1,y=3,z=2 \\ x=2,y=3,z=1 \\ x=2,y=1,z=3 \\ x=3,y=2,z=1 \\ x=3, y=1, z=2$

#4

1)Χρησιμοποιώντας τα αναπτύγματα των ταυτοτήτων του τετραγώνου και του κύβου το σύστημα ισοδυναμεί με:
$\displaystyle \left.\begin{matrix} x+y+z+w=10\\xy+xz+xw+yz+yw+zw=35 \\xyz+xyw+xzw+yzw=50 \\xyzw=24 \end{matrix}\right|$
Επομένως τα $\displaystyle x,y,z,w$
είναι λύσεις της εξίσωσης: $\displaystyle k^4-10k^3+35k^2-50k+24=0$
η τελευταία ισοδυναμεί με την: $\displaystyle (k-1)(k-2)(k-3)(k-4)=0$
Επομένως: $\displaystyle (x,y,z,w)=(1,2,3,4)$ (κι όλες οι διατάξεις αυτών των τιμών: 12 διατάξεις)

erxmer · #5

Tι να πώ 3 στα 3 σε 48 λεπτά. στο τέλος δεν θα χω υλικό να ανεβάσω (έχω μπόλικο...)

Συστήματα

Συστήματα

Re: Συστήματα

Re: Συστήματα

Re: Συστήματα

Re: Συστήματα

Μέλη σε σύνδεση