Οι "συνέπειες" των ανακαλύψεων

KARKAR · #1

Μαθητής , "παίζοντας" σε τρίγωνα με μήκη πλευρών ακέραιους , ανακοίνωσε με υπερηφάνεια :

Στο τρίγωνο με πλευρές : a=5 , b=6 , c=4

, η γωνία $\hat{B}$ είναι διπλάσια από τη $\hat{C}$ .

Ας τον βοηθήσουμε να αποδείξει τον ισχυρισμό του . Στη συνέχεια του ζητάμε απόδειξη με "νόμο ημιτόνων" !

#2

Δίχως ΝΟΜΟ ΗΜΙΤΟΝΩΝ !

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Από Ν. Συνημιτόνων στο ΑΒΓ:
$\displaystyle 36 = 16 + 25 - 2 \cdot 4 \cdot 5 \cdot \sigma \upsilon \nu {\rm B} \Leftrightarrow \;\sigma \upsilon \nu {\rm B} = \frac{1}{8}$

$\displaystyle 16 = 36 + 25 - 2 \cdot 6 \cdot 5 \cdot \sigma \upsilon \nu \Gamma \Leftrightarrow \;\sigma \upsilon \nu \Gamma = \frac{3}{4}$

Είναι: $\displaystyle \sigma \upsilon \nu 2\Gamma = 2\sigma \upsilon \nu ^2 \Gamma - 1 = 2 \cdot \frac{9}{{16}} - 1 = \frac{1}{8} = \sigma \upsilon \nu {\rm B}$

Και αφού οι γωνίες είναι κυρτές, είναι $\displaystyle \widehat{\rm B} = 2\widehat\Gamma$

badoun · #3

Αποσύρω τη λύση γιατί έκανα κάποιο λαθος....επανέρχομαι!! Συγνώμη!!!

Κατα λάθος,αντί να επεξεργαστώ αυτή τη δημοσίευση,έκανα καινουρια.Αν μπορεί λοιπόν, κάποιος διαχειριστής να τη διαγράψει αυτή!

badoun · #4

Χίλια συγνώμη για το λάθος που έγινε πριν!Θα πρέπει να είμαι πιο προσεκτικός γιατί μετά απο την ανακάλυψη του λάθους μου αγχώθηκα κι ετσι δεν έβλεπα τη λύση που ήταν μπροστά στα μάτια μου!Έχουμε λοιπόν τα παρακάτω!!

Για την απόδειξη προ των νόμων των ημιτόνων σκέφτηκα την εξής γεωμετρική λύση:

Φέρνουμε κύκλο με κέντρο Β και ακτίνα BC. Επίσης φέρνουμε τα E , F τα οποία είναι σημεία τομής της CA και της BA με τον κύκλο. και τέλος το D που είναι αντιδιαμετρικό του F.
Έχουμε τα εξής: AC=6 , AF=1

και

(απλές πράξεις)
Επίσης, στο Α τέμνονται 2 χορδές του κύκλου άρα έχουμε ότι:

$EA \cdot AC = AD \cdot AF \Rightarrow EA=\displaystyle{\frac{3}{2}$
Όμως
$\displaystyle{\frac{EA}{AC}=\frac{1}{4}}$

$\displaystyle{\frac{AF}{AB}=\frac{1}{4}}$

Άρα απο θ. Θαλή παίρνουμε EF // BC

επομένως $\hat{E}=\hat{C}$ ως εντός εναλλάξ!
Τελικά $\hat{B}=2\hat{E} \Rightarrow \hat{B}=2\hat{C}$

Υ.Γ. Και πάλι συγνώμη!

#5

Και μια Γεωμετρική λύση ΔΙΧΩΣ ΙΧΝΟΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ!

: 11-4-2011 Γεωμετρία.jpg (7.59 KiB) Προβλήθηκε 1160 φορές

Φέρνουμε τη διχοτόμο ΑΕ.

Από Θ. Διχοτόμων:

$\displeystyle \frac{{EC}}{{AE}} = \frac{{BC}}{{AB}} \Leftrightarrow \frac{{EC}}{{6 - EC}} = \frac{5}{4} \Leftrightarrow EC = \frac{{10}}{3},\;AE = \frac{8}{3}$

Η $\displeystyle \widehat{{\rm A}{\rm E}{\rm B}}$ είναι εξωτερική στο ΕΒC, οπότε $\displeystyle \widehat{{\rm A}{\rm E}{\rm B}} = \frac{{\widehat{\rm B}}}{2} + \widehat\Gamma$ .

Τα τρίγωνα ΑΒE, ABC έχουν: $\displeystyle \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{AE}}{{AB}} = \frac{4}{6}$ και τη γωνία $\displeystyle \widehat A$ κοινή, άρα είναι όμοια, οπότε $\displeystyle \widehat{AEB} = \widehat B \Rightarrow \;\frac{{\widehat B}}{2} + \widehat \Gamma = \widehat{\rm B} \Rightarrow \widehat\Gamma = \frac{{\widehat{\rm B}}}{2}$

KARKAR · #6

Χρησιμοποιήθηκε εφαρμογή του σχολικού : $sin^{2}B-sin^{2}C=sin(B+C){\cdot}sin(B-C)$

Οι "συνέπειες" των ανακαλύψεων

Οι "συνέπειες" των ανακαλύψεων

Re: Οι "συνέπειες" των ανακαλύψεων

Re: Οι "συνέπειες" των ανακαλύψεων

Re: Οι "συνέπειες" των ανακαλύψεων

Re: Οι "συνέπειες" των ανακαλύψεων

Re: Οι "συνέπειες" των ανακαλύψεων

Μέλη σε σύνδεση