Ασκηση επανάληψης (10)

#1

Δίνεται η δυο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα [0,1]

συνάρτηση

και η συνάρτηση $g : [0,1]\to \mathbb R$ , για την οποία γνωρίζουμε οτι ισχύει:
$\displaystyle{ g(x) = \int\limits_1^{f^{\prime} (x)} {\frac{1} {{2t - t^2 }}} dt,x \in \left[ {0,1} \right] }$ και f(0)=0

.
α) Nα δείξετε οτι:

1) Η

είναι γνησίως αύξουσα στο [0,1]

.
2)Αν

είναι το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται απο τη γραφική παράσταση της

, τον άξονα x'x

και την ευθεία x=1

να δείξετε οτι ισχύει: E<1

β)
1) Να δείξετε οτι υπάρχει $a\in (1,2)$ ώστε : $\ln a-ln(2-a)-2a=0$ .
2) Αν g(x)= f '(x)

, για κάθε $x\in[0,1]$ και η f ''

είναι συνεχής στο [0,1]

, να δείξετε οτι υπάρχει $a\in (1,2)$ τέτοιο ώστε: $f(x)=ax, x \in [0,1]$ .

lonis · #2

Για το (α):
H $g(t)=\frac{1} {{2t - t^2 }}$ είναι συνεχής στο $A=(-oo,0)\bigcup{(0,2)}\bigcup{(2,+oo)}$ . Η g ορίζεται όταν οι αριθμοί $1, f^{\prime}(x)$ βρίσκονται στο ίδιο διάστημα από αυτά που απαρτίζουν το σύνολο Α. Έτσι $f^{\prime}(x)\epsilon (0,2)\Leftrightarrow 0<f^{\prime}(x)<2$ και η f είναι γνησίως αύξουσα. Έτσι, είναι $f(x)\geq f(0)=0,x\epsilon [0,1]$ άρα $E=\int_{0}^{1}{\left|f(x) \right|dx}=\int_{0}^{1}{f(x)dx}$ . Αφού $f^{\prime}(x)<2\Leftrightarrow (f(x)-2x)^{\prime}<0$ , η συνάρτηση f(x)-2x

είναι γνησίως φθίνουσα οπότε $f(x)-2x\leq f(0)-0\Leftrightarrow f(x)\leq 2x$ . Ολοκληρώνοντας στο [0,1], βρίσκουμε $E=\int_{0}^{1}{f(x)dx}<\int_{0}^{1}{2x}dx=1$ . Ελπίζω να μην έκανα κάποιο λάθος.

Λεωνίδας

lonis · #3

Για το (β), βιαστικά και ημιτελώς - ίσως επανέλθω αργότερα: Η $h(x)=lnx-ln(2-x)-2x, x\epsilon [1,2)$ , δίνει h(1)=-2<0

και $\lim_{x\rightarrow 2}h(x)=+oo$ , οπότε το 0 περιέχεται στο h((1,2))

.
Στο β)2) βρίσκω $g^{\prime}(x)=\frac{f^{\prime\prime}(x)}{f^{\prime}(x)[2-f^{\prime}(x)]}$ . Αφού όμως και $g^{\prime}(x)=f^{\prime\prime}(x)$ , τελικά προκύπτει ότι: $f^{\prime\prime}(x)[f^{\prime}(x)-1]^2=0$ για κάθε $x\epsilon [0,1]$ .

Βέβαια, το "για κάθε $x\epsilon [0,1]$ " δεν επιμερίζεται σε:
" $f^{\prime\prime}(x)=0$ για κάθε $x\epsilon [0,1]$ " ή " $[f^{\prime}(x)-1]^2=0$ για κάθε $x\epsilon [0,1]$ ". Θέλει κι άλλο ψάξιμο και, φαντάζομαι, σύνδεση με το 2)α).

Λεωνίδας

kapapi · #4

Μια σκέψη για το β) 2)

Εικόνα

όπου h(x) η συνάρτηση του "lonis" στο β) 1)

Βασίλης Καλαμάτας · #5

Πολύ καλή άσκηση!!!!!! Πάρα πολύ καλή η ιδέα στο α1. Εξαιρετική θα έλεγα...

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ
1. Γιατί μας δίνεται ότι η f είναι 2 φορές παραγωγίσιμη και η f'' είναι συνεχής?
2. Μήπως το ερώτημα (β) πρέπει να διατυπωθεί λίγο διαφορετικά για να είναι προφανές ότι ο αριθμός α είναι κοινός για τα 2 ερωτήματα?
Να αποδείξετε οτι υπάρχει α στο (0,1) τέτοιο, ώστε:
β) lnα-ln(2-α)-2α=0
β) αν επιπλέον ισχύει g(x)=f'(x) για x στο [0,1] , τότε f(x)=αx για x στο [0,1]

Συγχωρέστε με αν κάνω λάθος και δε βλέπω κάτι, αλλά ξέρετε ότι ο χρόνος είναι πιεσμένος τις μέρες αυτές..
Φιλικά...

hsiodos · #6

Καλημέρα
Συμφωνώ με τον Βασίλη
Στο β 1) να προσθέσουμε και την μοναδικότητα του α ;

Γιώργος

#7

Χαίρομαι που σας άρεσε η άσκηση...Όσον αφορά τις παρατηρήσεις,απλά θα πω πως η λύση βρίσκεται λίγα βήματα πιο κάτω απο εκεί που έχει φτάσει ο Λεωνίδας...Με τα δεδομένα που ήδη υπάρχουν...

hsiodos · #8

Μερικά σχόλια
1.

lonis έγραψε:Για το (β), βιαστικά και ημιτελώς - ίσως επανέλθω αργότερα: Η $h(x)=lnx-ln(2-x)-2x, x\epsilon [1,2)$ , δίνει και $\lim_{x\rightarrow 2}h(x)=+oo$ , οπότε το 0 περιέχεται στο .

*** Η h ορίζεται στο (0 ,2) και ο Λεωνίδας έχει δείξει οτι υπάρχει α στο (1,2) ώστε h(α) = lnα-ln(2-α)-2α=0.
Ισχύει h΄(x) $\geq 0$ για κάθε x στο (0 ,2) (το ίσον ισχύει μόνο για x =1) άρα η h
είναι γνησίως αύξουσα (1-1) και συνεπώς το α που έχουμε βρει είναι μοναδικό.

kapapi έγραψε:Μια σκέψη για το β) 2)

όπου h(x) η συνάρτηση του "lonis" στο β) 1)

*** O kapapi έχει αποδείξει ότι για κάθε x στο [0 , 1] ισχύει h(f΄(x)) = 0
Όμως η h(x) έχει μοναδική λύση την x = α , με α στο (1,2) και έτσι προκύπτει ότι για κάθε x στο [0 , 1] είναι f΄(x) = α με α στο (1,2).
Τώρα εύκολα προκύπτει f(x) = αx για κάθε x στο [0 , 1] με α στο (1,2).
Αν δεν υπάρχει κάποιο λάθος στην παραπάνω λύση τότε αποδείχθηκε το ζητούμενο χωρίς να χρησιμεύσει η ύπαρξη της f΄΄ και η συνέχειά της.

2.

lonis έγραψε: Στο β)2) βρίσκω $g^{\prime}(x)=\frac{f^{\prime\prime}(x)}{f^{\prime}(x)[2-f^{\prime}(x)]}$ . Αφού όμως και $g^{\prime}(x)=f^{\prime\prime}(x)$ , τελικά προκύπτει ότι: $f^{\prime\prime}(x)[f^{\prime}(x)-1]^2=0$ για κάθε $x\epsilon [0,1]$ .

*** Ο Λεωνίδας έχει βρει $f^{\prime\prime}(x)[f^{\prime}(x)-1]^2=0$ για κάθε $x\epsilon [0,1]$ . (1)

f΄(x) = $\int\limits_1^{f^{\prime} (x)} {\frac{1} {{2t - t^2 }}} dt,x \in \left[ {0,1} \right]$ (2)
Αν υπάρχει ω στο [0 , 1] με f΄(ω)=1 τότε από την (2) για x = ω προκύπτει 1 = 0 , άτοπο
Άρα από την (1) τώρα παίρνουμε f΄΄(x) = 0 για κάθε x στο [0 , 1] οπότε f΄(x) = α , με 0<α <1 ή 1<α <2 οπότε εύκολα προκύπτει f(x) = αx για κάθε x στο [0 , 1], με 0<α <1 ή 1<α <2 .
Εδώ κολλάω να αποκλείσω την περίπτωση 0<α <1 οπότε θα έχει αποδειχθεί το ζητούμενο.
Πάλι όμως δεν μπορώ να καταλάβω που χρησιμεύει η συνέχεια της f΄΄ που άλλωστε έχει αποδειχθεί.

3. Για το πρώτο ερώτημα νομίζω χρειάζεται προσοχή στην αιτιολόγηση. Αν δεν είχε δοθεί ότι η g έχει πεδίο ορισμού το [0 , 1] τότε δεν θα μπορούσαμε να ισχυριστούμε ότι η f είναι γν. αύξουσα στο [0 ,1].

Γιώργος

mathxl · #9

Να συμπληρώσω μόνο ότι η σχέση (1) που βρήκε ο Λεωνίδας γίνεται {[f΄(χ)-1]^3}' =0 δηλαδή η
[f΄(χ)-1]^3=σταθερή

#10

Καλησπέρα!
Η συνάρτηση έχει τη μορφή f(x)=αχ (εύκολο αφού f''(x)=0, για κάθε χ το [0,1] και f(0)=0).
Aρα έχουμε $\displaystyle{\displaystyle a = \int\limits_1^a {\frac{1} {2}} \cdot \left( {\frac{1} {t} - \frac{1} {{2 - t}}} \right)dt.....\ln a - \ln (2 - a) - 2a = 0 }$ . Σας θυμίζει κάτι; Είναι η εξίσωση του β1) η οποία αποδείξατε πως ικανοποιείται για κάποιο α στο (1,2). Αρα μόλις απαντήσατε!
Εντάξει στο ερώτημα αυτό ο πατέρας της άσκησης (Χ.Πατήλας) πλεονάζει...
Για τη συνέχεια της f'' κι εγω δε τη βλέπω να χρειάζεται.
Γιώργο , δεν ξέρω αν καλύφθηκες, αλλά σκάψε , σκάψε όλο και κάτι άλλο θα βρείς...Εδω θα είμαι να το ακούσω.

lonis · #11

Συμπληρώνω μια μεταμεσονύκτια ιδέα του socrates (καλωσόρισες και ενεργός!) που μου έστειλε με προσωπικό μήνυμα:

Είχα σταματήσει κάπου και συνεχίζω:

$f^{\prime\prime}(x)[f^{\prime}(x)-1]^2=0$ για κάθε $x\epsilon [0,1]$ άρα $[f^{\prime}(x)-1]^{\prime}[f^{\prime}(x)-1]^2=0\Leftrightarrow {([f^{\prime}(x)-1]^3)}^{\prime}=0$ και η συνάρτηση $[f^{\prime}(x)-1]^3$ , επομένως και η $f^{\prime}(x)-1$ , δηλαδή και $f^{\prime}(x)=c$ . Μέχρι εδώ $c\epsilon (0,2)$ .
Έτσι: $c= f^{\prime}(x)=g(x)= \int\limits_1^c {\frac{1} {2}} \cdot \left( {\frac{1} {t} - \frac{1} {{2 - t}}} \right)dt=...={\frac{1} {2}}(ln c - \ln (2 - c))$ οπότε ... το c είναι το $a\epsilon (1,2)$ που λέγαμε... Κατά τα άλλα, συμφωνώ με το τελευταίο μήνυμα του Γιώργου μάλλον με το προτελευταίο, αφού μόλις έγραψε κι ο Χρήστος! Συμπληρώνω: και ο Βασίλης!

Λεωνίδας

hsiodos · #12

Καλησπέρα σε όλους
Ευχαριστώ για την λύση στο τελευταίο σημείο που για να είναι επαρκής πρέπει να αποδειχθεί η μοναδικότητα του α .
Όμως πόσο σωστά είναι δομημένη μια άσκηση όταν μπορεί να λυθεί χωρίς την χρησιμοποίηση κάποιων δεδομένων της;
Είναι και κάτι άλλο που με απασχολεί στην άσκηση αυτή , αν κατασταλάξω θα επανέλθω.

Γιώργος

#13

Τώρα θα αρχίσω κι εγώ τις ερωτήσεις.
Τη μοναδικότητα του α τι τη χρειάζεσαι; Λέει κάτι τέτοιο στην εκφώνηση;

hsiodos · #14

Αν υπάρχει και άλλο α με την ιδιότητα αυτή , πχ με α στο (0,1) τότε τι γίνεται;

Γιώργος

#15

Ειλικρινά δε σε καταλαβαίνω..Μα η εκφώνηση σου ζητάει να αποδείξεις πως υπάρχει α στο (1,2) που να κάνει κάτι συγκεκριμένο και το δείχνεις.Εντάξει, έχεις δίκιο!

hsiodos · #16

chris_gatos έγραψε:Ειλικρινά δε σε καταλαβαίνω..Μα η εκφώνηση σου ζητάει να αποδείξεις πως υπάρχει α στο (1,2) που να κάνει κάτι συγκεκριμένο και το δείχνεις.Εντάξει, έχεις δίκιο!

Χρήστο αφού δεν με καταλαβαίνεις τότε πως έχω δίκιο;
Εννοώ ότι αν h(α) = lnα-ln(2-α)-2α=0 για κάποιο α στο (0 ,1) τότε η f θα έχει δύο τύπους στο [0 ,1] ;

Γιώργος

#17

Γιώργο κουράστηκα!

kapapi · #18

τώρα που βλέπω καλύτερα τη λύση που έδωσα....

Εικόνα

έχουμε f΄(x) $\in (0,2)$ . Βέβαια αυτό δεν σημαίνει ότι το (0,2) είναι το σύνολο τιμών της f΄.
Οπότε πως εξασφαλίζουμε ότι υπάρχει $x \in [0,1]$ ώστε f΄(x)=α με $a \in (1,2)$ ;

hsiodos · #19

kapapi έγραψε:τώρα που βλέπω καλύτερα τη λύση που έδωσα....

έχουμε f(x)ε(0,2) . Βέβαια αυτό δεν σημαίνει ότι το (0,2) είναι το σύνολο τιμών της f΄.
Οπότε πως εξασφαλίζουμε ότι υπάρχει xε[0,1] ώστε f΄(x)=α με αε(1,2);

Με την ευκαιρία της ερώτησης σου kapapi συνοψίζω , ως εξής:
Έχουμε δείξει πιο πάνω ότι υπάρχει μοναδική ρίζα α της $h(x)=lnx-ln(2-x)-2x=0, x\epsilon (0,2)$ (1)

, με α στο (1,2) .
Επίσης ισχύει(δική σου απόδειξη) ln(f΄(x)) - ln(2- f΄(x)) - 2f΄(x) = 0 (2)

για κάθε x στο [0 ,1]
Αν δεχθούμε ότι υπάρχουν $x_1,x_2\in [0,1]$ τέτοια ώστε f΄ $(x_1)\neq$ f΄ (x_2)

προκύπτει λόγω της (2) ότι η (1) έχει δύο διαφορετικές ρίζες στο (0,2) ,άτοπο!
Συνεπώς η f΄ είναι σταθερή.
Άρα f΄(x) = m με m στο (0,2) . Λόγω της (2) το m είναι ρίζα της (1) δηλαδή m = α οπότε f΄(x) = α με α στο (1,2) .
Τα υπόλοιπα είναι γνωστά.

Γιώργος

*Νομίζω ότι δεν μας χρειάζεται η ύπαρξη της f΄΄

#20

Mια αλλη προσεγγιση

Ασκηση επανάληψης (10)

Ασκηση επανάληψης (10)

Re: Ασκηση επανάληψης (10)

Re: Ασκηση επανάληψης (10)

Re: Ασκηση επανάληψης (10)

Re: Ασκηση επανάληψης (10)

Re: Ασκηση επανάληψης (10)

Re: Ασκηση επανάληψης (10)

Re: Ασκηση επανάληψης (10)

Re: Ασκηση επανάληψης (10)

Re: Ασκηση επανάληψης (10)

Re: Ασκηση επανάληψης (10)

Re: Ασκηση επανάληψης (10)

Re: Ασκηση επανάληψης (10)

Re: Ασκηση επανάληψης (10)

Re: Ασκηση επανάληψης (10)

Re: Ασκηση επανάληψης (10)

Re: Ασκηση επανάληψης (10)

Re: Ασκηση επανάληψης (10)

Re: Ασκηση επανάληψης (10)

Re: Ασκηση επανάληψης (10)

Μέλη σε σύνδεση