Ανισότητα με απόλυτα (2)

#1

Αν για τους πραγματικούς αριθμούς x,y,z ισχύουν οι σχέσεις: xyz=1 και |x|+|y|+|z|<3 να αποδείξετε ότι:

$x^{2}+y^{2}+z^{2}<7$

Ιωάννου Δημήτρης

Grigoris K. · #2

Η δοσμένη σχέση γίνεται : $\displaystyle{(|x| + |y| + |z|)^2 < 3^2 \Rightarrow |x|^2 + |y|^2 + |z|^2 + 2|y||x| + 2|y||z| + 2|z||x| < 9 \Rightarrow x^2 + y^2 + z^2 + 2|y||x| + 2|y||z| + 2|z||x| < 9}$

Για να ισχύει x^2 + y^2 + z^2 < 7

αρκεί νδο $2|y||x| + 2|y||z| + 2|z||x| \geq 2$ (1)

Από AM-GM έχουμε: $\displaystyle{2|y||x| + 2|y||z| + 2|z||x| \geq 3\sqrt[3]{2|y||x|\cdot 2|y||z|\cdot 2|z||x|} = 3\sqrt[3]{8x^2y^2z^2} = 3\sqrt[3]{8 \cdot 1} = 6}$ . Άρα η (1) όντως ισχύει.

#3

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:Αν για τους πραγματικούς αριθμούς x,y,z ισχύουν οι σχέσεις: xyz=1 και |x|+|y|+|z|<3 να αποδείξετε ότι:

$x^{2}+y^{2}+z^{2}<7$

Ιωάννου Δημήτρης

Μου φαίνεται, ότι κάτι δεν πάει καλά:

Αν ισχύει $\displaystyle{xyz=1}$ , από την ΑΜ-ΓΜ είναι

$\displaystyle{|x|+|y|+|z|\geq 3\sqrt[3]{|xyz|}=3}$ ,

άρα δεν είναι δυνατόν να ισχύει $\displaystyle{|x|+|y|+|z|<3.}$

#4

matha έγραψε:
ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:Αν για τους πραγματικούς αριθμούς x,y,z ισχύουν οι σχέσεις: xyz=1 και |x|+|y|+|z|<3 να αποδείξετε ότι:

$x^{2}+y^{2}+z^{2}<7$

Ιωάννου Δημήτρης
Μου φαίνεται, ότι κάτι δεν πάει καλά:

Αν ισχύει $\displaystyle{xyz=1}$ , από την ΑΜ-ΓΜ είναι

$\displaystyle{|x|+|y|+|z|\geq 3\sqrt[3]{|xyz|}=3}$ ,

άρα δεν είναι δυνατόν να ισχύει $\displaystyle{|x|+|y|+|z|<3.}$

Θανάση, πράγματι βλέπω ότι η άσκηση δεν είναι "υπαρκτή". Και εγώ είχα δώσει την λύση που έδωσε ο Grigoris, χωρίς να ελέγξω την ορθότητα της εκφώνισης.

Καλό βράδυ

Ιωάννου Δημ.

Ανισότητα με απόλυτα (2)

Ανισότητα με απόλυτα (2)

Re: Ανισότητα με απόλυτα (2)

Re: Ανισότητα με απόλυτα (2)

Re: Ανισότητα με απόλυτα (2)

Μέλη σε σύνδεση