Να βρείτε τους λόγους

[NOTHΣ KOYTΣΙΚΑΣ]

Άν Δ,Ε,Ζ είναι τα μέσα τών πλευρών ΒΓ,ΓΑ,ΑΒ τριγώνου ΑΒΓ αντιστοίχως,τότε να υπολογίσετε τους λόγους:
α) (ΑΖΕ)/(ΑΒΓ) και β) (ΔΕΖ)/(ΑΒΓ)


ΦΙΛΙΚΑ ΚΑΙ ΠΑΝΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΝΟΥΗΣ ΚΟΥΤΣΙΚΑΣ

[Dimitris13]

Συγκρίνουμε τα τρίγωνα ΑΖΕ και ΑΒΓ και παρατηρούμε:
~ΑΕ = ΑΓ /2 από την υπόθεση
~ΑΖ = ΑΒ /2 από την υπόθεση
~ΖΕ = ΒΓ /2 ως ευθύγραμμο τμήμα που ορίζεται από τα μέσα δύο πλευρών ενός τριγώνου που είναι το μισό της τρίτης πλευράς και παράλληλο σε αυτό.
Άρα είναι όμοια με λόγο ομοιότητας ίσο με 1 προς 2. άρα λόγος ομοιότητας των εμβαδών τους (1/2)^2 άρα 1 προς 4.

Συγκρίνουμε τα τρίγωνα ΔΕΖ και ΑΒΓ και παρατηρούμε:
~ΖΕ = ΒΓ /2 ως ευθύγραμμο τμήμα που ορίζεται από τα μέσα δύο πλευρών ενός τριγώνου που είναι το μισό της τρίτης πλευράς και παράλληλο σε αυτό.
~ΖΔ = ΑΓ /2 ως ευθύγραμμο τμήμα που ορίζεται από τα μέσα δύο πλευρών ενός τριγώνου που είναι το μισό της τρίτης πλευράς και παράλληλο σε αυτό.
~ΔΕ = ΑΒ /2 ως ευθύγραμμο τμήμα που ορίζεται από τα μέσα δύο πλευρών ενός τριγώνου που είναι το μισό της τρίτης πλευράς και παράλληλο σε αυτό.
Άρα είναι όμοια με λόγο ομοιότητας ίσο με 1 προς 2. άρα λόγος ομοιότητας των εμβαδών τους (1/2)^2 άρα 1 προς 4.