Εξίσωση

komi · #1

Να λυθεί η εξίσωση :

(1+x^2)(1+x^4)=4x^3

Grigoris K. · #2

Κάνοντας της επιμεριστικές λαμβάνουμε: $\displaystyle x^6 + x^4 + x^2 + 1 = 4x^3$
Όμως από AM-GM έχουμε : $\displaystyle x^6 + x^4 + x^2 + 1 \geq 4\sqrt[4]{x^{12}} = 4x^3$ και από εδώ προκύπτει ότι η ισότητα προκύπτει αν και μόνον αν x = 1

komi · #3

Για λόγους πλουραλισμού δίνω και την προσέγγισή μου (όχι κάτι ιδιαίτερο)

$4x^3=1+x^2+x^4+x^6 \Rightarrow (x^6-2x^3+1)+(x^4-2x^3+x^2)=0 \Rightarrow(x^3-1)^2+x^2(x-1)^2=0\Rightarrow ...x=1$

Edit από Γενικούς Συντονιστές: Διόρθωση του κώδικα LATEX (το $\Rightarrow$ γράφεται \Rightarrow, όχι ->)

parmenides51 · #4

Με λίγο Horner από την Β' Λυκείου και ακόμα πιο λίγη παραγοντοποίηση :

$\displaystyle{x^6+x^4-4x^3+x^2+1=(x-1)(x^5+x^4+2x^3-2x^2-x-1)=}$

$\displaystyle{=(x-1)^2(x^4+2x^3+4x^2+2x+1)=(x-1)^2(x^4+2x^3+x^2+2x^2+x^2+2x+1)}$

$\displaystyle{=(x-1)^2[x^2(x^2+2x+1)+2x^2+(x^2+2x+1)]=(x-1)^2[(x^2+1)(x^2+2x+1)+2x^2)]}$

$\displaystyle{=(x-1)^2[(x^2+1)(x+1)^2+2x^2]}$ (1)

$\displaystyle{\left\{\begin{matrix} x^2+1> 0\\ (x+1)^2\geq 0 \end{matrix}}\right \Rightarrow (x^2+1)(x+1)^2\geq 0 }$ με το ίσον να ισχύει όταν $\displaystyle{x=-1}$

κι επειδή ισχύει πως $\displaystyle{2x^2\geq 0}$ με το ίσον να ισχύει όταν $\displaystyle{x=0}$ , προσθέτοντας κατά μέλη

προκύπτει πως $\displaystyle{(x^2+1)(x+1)^2+2x^2\geq 0}$ με το ίσον να μην ισχύει ποτέ

συνεπώς $\displaystyle{(x^2+1)(x+1)^2+2x^2>0}$ (2) για κάθε $\displaystyle{x\in\mathbb{R}}$

οπότε

$\displaystyle{x^6+x^4-4x^3+x^2+1=0 \mathtop \limits_{\Leftrightarrow}^{(1)} (x-1)^2[(x^2+1)(x+1)^2+2x^2]=0 \mathtop \limits_{\Leftrightarrow}^{(2)} (x-1)^2=0 \Leftrightarrow x=1 }$

kanenas · #5

$x^2+1\geq 2x (1)$
$x^4+1\geq 2x^2 (2)$

Με πολλαπλασιασμό κατά μέλη (αφού το 1ο και το 2ο μέλος της δεύτερης σχέσης είναι μη αρνητικά) έχουμε: $(x^2+1)(x^4+1)\geq 4x^3$
Η ισότητα θα ισχύει μόνο όταν x=1

Εξίσωση

Εξίσωση

Re: Εξίσωση

Re: Εξίσωση

Re: Εξίσωση

Re: Εξίσωση

Μέλη σε σύνδεση