Παράλληλα τμήματα

Ιστοσελίδα · #1

Σε ένα τρίγωνο $AB\varGamma,$ η διχοτόμος του $A\varDelta$ και η διάμεσός του BM,

τέμνονται κάθετα στο σημείο

Η ευθεία $\varGamma E$ τέμνει την πλευρά

στο σημείο

Να αποδείξετε ότι $Z\varDelta // A\varGamma.$

Eukleidis · #2

Με θεώρημα Ceva για τις ΑΔ, ΒΜ και ΓΖ παίρνουμε:

$\displaystyle{\tfrac{{AZ}}{{ZB}} \cdot \tfrac{{BD}}{{DC}} \cdot \tfrac{{CM}}{{MA}} = 1 \Rightarrow \tfrac{{AZ}}{{ZB}} = \tfrac{{DC}}{{BD}}}$ από οπου έπεται το ζήτουμενο συμφωνα με το αντίστροφο του θεωρηματος του Θαλή.

badoun · #3

Να δώσω και μία δική μου προσέγγιση πιστεύω λίγο πιο κατανοητή από κάποιον μέσο μαθητή της Α Λυκείου (ελπίζω να είναι σωστή...)

Από το Δ φένουμε $\Delta K // AB$ . Τότε $\hat{Z}=\hat{\Delta_1} + \hat{\Delta_2}$ ως εντός εναλλάξ.

Επίσης η $\hat{Z}$ είναι εξωτερική γωνία του τριγώνου $A\Delta Z$ άρα $\hat{Z}=\hat{A_1}+\hat{\Delta_1}=\hat{A_2}+\hat{\Delta_1}$ αφού ΑΔ διχοτόμος.
Άρα $\hat{A_2}=\hat{\Delta_2}$
Όμως $\hat{A_2}=\hat{\Delta_1}$ ως εντός εναλλάξ, επομένως $\hat{\Delta_1}=\hat{\Delta_2} \Rightarrow \hat{Z}=\hat{\Delta}=\hat{A}$
Οι γωνίες Α και Ζ είναι εντός εκτός κι επι τ'αυτά και είναι και ίσες, άρα $Z\Delta // A \Gamma$

#4

Νομίζω ότι είναι μία καλή ευκαιρία για εξάσκηση στο Θεώρημα Θαλή.

Βασισμένοι στο δυνατό αυτό θεώρημα και μόνο, μπορούμε να αποδείξουμε ότι το ζητούμενο αληθεύει για κάθε σημείο

επί της διαμέσου

του δοσμένου τριγώνου $\triangle ABC$ και δεν είναι απαραίτητο να είναι η

διχότόμος της γωνίας $\angle A$ , ούτε $AE\perp BM.$

Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Θα επανέλθω αργότερα με λεπτομέρειες, αν δεν απαντηθεί από κάποιον άλλον.

Γιώργος Μήτσιος · #5

Καλησπέρα!

vittasko έγραψε: Πέμ Μάιος 05, 2011 9:12 am Νομίζω ότι είναι μία καλή ευκαιρία για εξάσκηση στο Θεώρημα Θαλή.

Βασισμένοι στο δυνατό αυτό θεώρημα και μόνο, μπορούμε να αποδείξουμε ότι το ζητούμενο αληθεύει για κάθε σημείο επί της διαμέσου του δοσμένου τριγώνου $\triangle ABC$ και δεν είναι απαραίτητο να είναι η διχότόμος της γωνίας $\angle A$ , ούτε $AE\perp BM.$

Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Θα επανέλθω αργότερα με λεπτομέρειες, αν δεν απαντηθεί από κάποιον άλλον.

Ας δώσουμε λοιπόν μια απάντηση στο ζητούμενο όπως το θέτει ο αγαπητός Κώστας Βήττας ,

με καθυστέρηση βεβαίως

μηνών και ...

...

ετών! Με χρήση του σχήματος

: Παράλληλα τμήματα.png (92.37 KiB) Προβλήθηκε 702 φορές

Το

είναι τυχαίο σημείου της διαμέσου

. Φέρουμε την $IBQ \parallel A\Gamma$ .

Με βάση τα θεωρήματα της παραγράφου 7.7

του σχολικού βιβλίου (Θ. Θαλή) , έχουμε

$\dfrac{BQ}{\Gamma M}=\dfrac{BE}{EM}$ και $\dfrac{BI}{AM}=\dfrac{BE}{EM}$ άρα BQ=BI ... (1)

. Ακόμη $\dfrac{AZ}{ZB}=\dfrac{A\Gamma }{BQ}$ και $\dfrac{\Gamma H}{BH}= \dfrac{A\Gamma }{BI}$

οπότε λόγω και της (1)

έπεται $\dfrac{AZ}{ZB}=\dfrac{\Gamma H}{BH}$ που σημαίνει $ZH \parallel A\Gamma$ .

Δείτε και τις αναρτήσεις #6 και #7 των Νίκου και Στάθη στο σχετικό θέμα ΤΟΥΤΟ

Φιλικά, Γιώργος.

Παράλληλα τμήματα

Παράλληλα τμήματα

Re: Παράλληλα τμήματα

Re: Παράλληλα τμήματα

Re: Παράλληλα τμήματα

Re: Παράλληλα τμήματα

Μέλη σε σύνδεση