Ανισότητα με ολοκλήρωμα

Νίκος Ε. Καντιδάκης · #1

Καλημέρα.
Μία άσκηση μου έμεινε για την τελευταία επανάληψη, στην οποία έχω κολλήσει..
Παρακαλώ για την βοήθεια σας

Αν f συνεχής στο R και ισχύει $\int_{\pi }^{x}{f(t)dt}\geq 2sin^{2}x$ για κάθε x πραγματικό, να δείξετε ότι
$\int_{0}^{\pi }{xf(x)dx}\leq f(\pi )-\pi$

Ευχαριστώ!

hlkampel · #2

Θεωρώ τη συνάρτηση $g\left( x \right) = \int_\pi ^x {f\left( t \right)dt} - 2\eta {\mu ^2}x$ .
Είναι $g\left( x \right) \ge 0$ , για κάθε $x \in R$ . Άρα στο x=0 η g παρουσιάζει ελάχιστο. Από Θ. Fermat προκύπτει ότι $g'\left( \pi \right) = 0 \Leftrightarrow f\left( \pi \right) = 0$ (εύκολα).
$\displaystyle{\int_\pi ^x {f\left( t \right)dt} \ge 2\eta {\mu ^2}x \Rightarrow \int_0^\pi {\left( {\int_\pi ^x {f\left( t \right)dt} } \right)} dx \ge \int_0^\pi {2\eta {\mu ^2}xdx} \Rightarrow }$
$\int_0^\pi {x'\left( {\int_\pi ^x {f\left( t \right)dt} } \right)} dx \ge \int_0^\pi {\left( {1 - \sigma \upsilon \nu 2x} \right)dx} \Rightarrow$
$\displaystyle{\left[ {x\int_\pi ^x {f\left( t \right)dt} } \right]_o^\pi - \int_0^\pi {xf\left( x \right)dx} \ge \left[ {x - \frac{{\eta \mu 2x}}{2}} \right]_0^\pi \Rightarrow }$
$\int_0^\pi {xf\left( x \right)} dx \le - \pi \Rightarrow \int_0^\pi {xf\left( x \right)} dx \le f(\pi ) - \pi$

Υ.Γ. Η λύση δεν είναι δικιά μου. Είναι από συνάδελφο που δεν θέλει να αναφέρω το όνομα του.
Καλή Επιτυχία στις εξετάσεις.

Νίκος Ε. Καντιδάκης · #3

Ευχαριστώ πολύ..
Η άσκηση είναι ενός μαθητή μου και είναι η τελευταία που μας είχε μείνει στην επανάληψη και δεν ήθελα να του την αφήσω άλυτη, και για θέμα γνώσεων και για θέμα ψυχολογίας του..Με παίδεψε όμως πολύ και κόλλησα στο Fermat..ομολογώ ότι δεν είχα σκεφτεί τον τρόπο αυτό, καθώς πίστευα ότι βγαίνει με ακρότατο συνάρτησης.

Ευχαριστώ και πάλι,
Νίκος Καντιδάκης (Capetan)

Υ.Γ (τα χαιρετίσματα μου στον κ. Λάμπρου - Καθηγητή μου στο Π.Κ. )

Ανισότητα με ολοκλήρωμα

Ανισότητα με ολοκλήρωμα

Re: Ανισότητα με ολοκλήρωμα

Re: Ανισότητα με ολοκλήρωμα

Μέλη σε σύνδεση