'Ενα διαγώνισμα στις Πιθανότητες

#1

Πρόκειται για ένα διαγώνισμα που έγραψαν οι μαθητές μου την Παρασκευή 15-4-2011. Τα δύο πρώτα ερωτήματα σε κάθε ζήτημα είναι ασκήσεις από το σχολικό βιβλίο.

ZHTHMA 1
Από τους μαθητές ενός σχολείου το $80\%$ μαθαίνει Αγγλικά, το $30\%$ Γαλλικά και το $20\%$ και τις δύο γλώσσες.
1) Επιλέγουμε τυχαίως ένα μαθητή. Να βρείτε την πιθανότητα να μη μαθαίνει καμιά από τις δύο γλώσσες.
2) Δίνεται επιπλέον ότι
α) Το πλήθος των μαθητών που μαθαίνουν μόνο μία από τις δύο γλώσσες είναι 224.
β) Το πλήθος των κοριτσιών που μαθαίνουν μόνο Γαλλικά είναι 24.
Επιλέγουμε τυχαίως ένα μαθητή. Να βρείτε την πιθανότητα να είναι αγόρι που μαθαίνει μόνο Γαλλικά.
ZHTHMA 2
'Εστω A, B

δύο οποιαδήποτε ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου $\Omega$ . Να αποδείξετε ότι:
1) $P\left( A\cup B\right) \leq P\left( A\right) +P\left( B\right) \,$ \ (1)

2) Υποθέτουμε επιπλέον ότι κάθε απλό ενδεχόμενο $\omega _{i}$ του $\Omega$ έχει θετική πιθανότητα. Δείξτε ότι αν στην (1) ισχύει η ισότητα τότε τα

,

είναι ασυμβίβαστα.

Μαυρογιάννης

rexes13 · #2

Ζήτημα 1
Έστω ενδεχόμενο Α να μαθαίνει κάποιος μαθητής Αγγλικά.Τότε η πιθανότητα του ενδεχομένου αυτού θα είναι $P(A) = \frac{8}{10}$
Έστω ενδεχόμενο Β να μαθαίνει κάποιος μαθητής Γαλλικά.Τότε η πιθανότητα του ενδεχομένου αυτού θα είναι $P(B) = \frac{3}{10}$
Το 20% που μαθαίνει και τις 2 γλώσσες είναι το ενδεχόμενο $A \cap B$ και η πιθανότητά του θα ισούται με $P(A \cap B)=\frac{2}{10}$
Το ενδεχόμενο κάποιος μαθητής να μην μαθαίνει καμιά από τις 2 γλώσσες είναι το $A' \cap B'$ και η πιθανότητά του θα ισούται με $P(A' \cap B')=(P(A \cup B)')' = 1 - P(A \cup B)$ (1)
Αλλά $P(A \cup B)=P(A) + P(B) - P(A \cap B) = \frac{8}{10} + \frac{3}{10} - \frac{2}{10} = \frac{9}{10}$
Άρα η (1) δίνει $P(A' \cap B') = \frac{1}{10}$
Ζήτημα 2
$P(A \cup B)=P(A) + P(B) - P(A \cap B) \leq P(A) + P(B) \Leftrightarrow P(A \cap B) \geq 0$ που ισχύει.

parmenides51 · #3

Επαναφορά.
Λείπουν οι απαντήσεις στα δεύτερα ερωτήματα κάθε ζητήματος.
Καλό θα ήταν να την συνεχίσει κάποιος μαθητής.

Υ.Γ. Έξυπνο το πρώτο ζήτημα.

dr.tasos · #4

Για το δεύτερο ερώτημα του πρώτου ζητήματος βγάζω: $\displaystyle P(\Delta )= \frac{1}{40}$ .
Κάθε διορθωση δεκτή.

parmenides51 · #5

dr.tasos έγραψε:Για το δεύτερο ερώτημα του πρώτου ζητήματος βγάζω: $\displaystyle P(\Delta )= \frac{1}{40}$ .
Κάθε διορθωση δεκτή.

Στα μαθηματικά δεν μας νοιάζει τόσο το αποτέλεσμα όσο ο τρόπος σκέψης.
Θα μπορούσες να περιγράψεις πως έβγαλες το παραπάνω νούμερο;
Δεν τσέκαρα καν εαν είναι σωστό το νούμερο που έδωσες.

dr.tasos · #6

$P[(A-B) \bigcup (B-A) ]=P(A)+P(B)-2P(A \bigcap B) \Rightarrow N( \Omega )=320$
$P(B-A)=P(B)-P(B \bigcap A)=10\%$ οπότε το 10 % κάνει μόνο γαλλικά συνολικά γαλλικά κάνουν N(B-A)=32

.Ξέρω ότι 24 κορίτσια κάνουν γαλλικά οπότε μας μένουν 8 αγόρια άρα $\displaystyle P( \Delta )=\frac{8}{320}=\frac{1}{40}$

parmenides51 · #7

Σωστό το σκεπτικό.

Συμπλήρωσε το ποσοστό στην πιθανότητα, σου ξέφυγε.
Λείπει η αναφορά στον τύπο για τα ισοπίθανα ενδεχόμενα που χρησιμοποιείς.

dr.tasos · #8

Εντάξει ήθελα να δείξω πώς το βρήκα. Το αποτέλεσμα είναι σωστό ?

parmenides51 · #9

Σωστό και το αποτέλεσμα.

dr.tasos · #10

Ενδειαφέρον το ερώτημα πάντως.Βάλτε και άλλα τέτοια.

'Ενα διαγώνισμα στις Πιθανότητες

'Ενα διαγώνισμα στις Πιθανότητες

Re: 'Ενα διαγώνισμα στις Πιθανότητες

Re: 'Ενα διαγώνισμα στις Πιθανότητες

Re: 'Ενα διαγώνισμα στις Πιθανότητες

Re: 'Ενα διαγώνισμα στις Πιθανότητες

Re: 'Ενα διαγώνισμα στις Πιθανότητες

Re: 'Ενα διαγώνισμα στις Πιθανότητες

Re: 'Ενα διαγώνισμα στις Πιθανότητες

Re: 'Ενα διαγώνισμα στις Πιθανότητες

Re: 'Ενα διαγώνισμα στις Πιθανότητες

Μέλη σε σύνδεση