ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009

kapapi · #21

Για το 4 γ)
Τρελό αλλά σωστό.

έστω $H(x)\neq 0$ για κάθε $x \in (0,2)$ , τότε ως συνεχής διατηρεί πρόσημο. Η G΄(x) επίσης σταθερό πρόσημο. Άρα G γνησίως μονότονη στο [0,2] (συνεχής). Οπότε G(0)<G(2) ή G(0)>G(2) Δηλαδή 3<3 ή 3>3. Άτοπο

ENIALIS · #22

Δεν ειμαι διορθωτης,αλλα παρολα αυτα θα απαντησω. Δεν υπαρχει λογος να ξεχωρισεις το 2. Οι- συναρτησεις-ολοκληρώματα στη G(x) είναι συνεχεις στο 2 όπως και αλλού, διοτι ειναι παραγωγισιμες στο 2 (οπως και αλλού) , διοτι η f(x) και η xf(x) ειναι συνεχείς στο κλειστο [0,2]. Δεν υπαρχει στα σχετικα θεωρηματα καποιο ανοικτο διαστημα ή καποια απαιτηση για εσωτερικα σημεια, οπως προφανως εννοεις.
Με αλλα λογια, πιο πολυ θα με προβληματιζε για τις γνωσεις καποιος να το ανεφερε χωριστα, παρα αυτο που λες.

Βασίλης Καλαμάτας · #23

paganini έγραψε:Ακουστε και τη γνωμη ενος μαθητη που μολις εδωσε.
ΔΕΝ ΗΤΑΝ ΠΟΛΛΑ.Προσωπικα ειχα ξεμπερδεψει με ΟΛΑ εκτος απτο 4δ στην 1 ωρα και κατι.Πηγαινες με τον αυτοματο!Στο 2 βρηκα το ελαχιστο με παραγωγους επειδη δεν ηθελα να μπλεξω με γεωμετρικη ερμηνεια.
Το 4δ το ελυσα στο τελευταιο 5λεπτο!Φανταστειτε ποσην ωρα μου πηρε και ποσο ψυχοφθορο ηταν!Αυτά. Για το 4δ η αδερφη μου εκανε μια λιγο διαφορετικη λυση και αυτη στο τελευταιο λεπτο κυριολεκτικα! Διαιρεσε με ξ^2 και α και μετα Rolle για μια παραγουσα.
Αυτά

Μήπως έχεις και τρίτο αδερφό που έδινε, για να δούμε μια ακόμη λύση!!!!!!!

paganini · #24

vasilis kalamatas έγραψε:
paganini έγραψε:Ακουστε και τη γνωμη ενος μαθητη που μολις εδωσε.
ΔΕΝ ΗΤΑΝ ΠΟΛΛΑ.Προσωπικα ειχα ξεμπερδεψει με ΟΛΑ εκτος απτο 4δ στην 1 ωρα και κατι.Πηγαινες με τον αυτοματο!Στο 2 βρηκα το ελαχιστο με παραγωγους επειδη δεν ηθελα να μπλεξω με γεωμετρικη ερμηνεια.
Το 4δ το ελυσα στο τελευταιο 5λεπτο!Φανταστειτε ποσην ωρα μου πηρε και ποσο ψυχοφθορο ηταν!Αυτά. Για το 4δ η αδερφη μου εκανε μια λιγο διαφορετικη λυση και αυτη στο τελευταιο λεπτο κυριολεκτικα! Διαιρεσε με ξ^2 και α και μετα Rolle για μια παραγουσα.
Αυτά
Μήπως έχεις και τρίτο αδερφό που έδινε, για να δούμε μια ακόμη λύση!!!!!!!

χαχαχα οχι! Δεν της αρεσε η σχολη της και ξαναδινει μετα απο 2 χρονια μαζι μου.

kapapi · #25

Ερώτηση προς τους συναδελφους του forum.

Στο 2 α) : Θεωρούμε δεδομένο ότι οι εικόνες είναι πάνω σε ευθεία και απλά ψάχνουμε την εξίσωσή της;

Nick1990 · #26

Καλησπερα και καλα αποτελεσματα σε ολους τους μαθητες. Τα θεματα δεν θα τα ελεγα πολλα με τιποτα (σε αντιθεση με τα περισυνα που ηθελαν πραγματικα αρκετο γραψημο)

Τα θεματα ηταν ευκολα σχεδον ολα, ο καλος μαθητης θα μπορουσε να λυσει τα 1,2,3, 4α,β σε λιγοτερο απο μια ωρα. Τα 4γ,δ ηταν πολυ δυσκολα χωρις το ερωτημα 4β, αλλα για οποιον ειχε υπ οψην του το προηγουμενο ερωτημα ηταν μια χαρα.

ΘΑΝΑΣΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜΟΥ · #27

ENIALIS έγραψε:Δεν ειμαι διορθωτης,αλλα παρολα αυτα θα απαντησω. Δεν υπαρχει λογος να ξεχωρισεις το 2. Οι- συναρτησεις-ολοκληρώματα στη G(x) είναι συνεχεις στο 2 όπως και αλλού, διοτι ειναι παραγωγισιμες στο 2 (οπως και αλλού) , διοτι η f(x) και η xf(x) ειναι συνεχείς στο κλειστο [0,2]. Δεν υπαρχει στα σχετικα θεωρηματα καποιο ανοικτο διαστημα ή καποια απαιτηση για εσωτερικα σημεια, οπως προφανως εννοεις.
Με αλλα λογια, πιο πολυ θα με προβληματιζε για τις γνωσεις καποιος να το ανεφερε χωριστα, παρα αυτο που λες.

Να το διατυπώσω αλλιώς γιατί δε διαφωνώ μαζί σου. Ένας μαθητής απέδειξε τη συνέχεια με όριο στο 0 = f( 0 ), και εξήγησε ότι είναι συνεχής στο ( 0, 2 ]. Κατά τη γνώμη σου τα παίρνει όλα τα μόρια;

Βασίλης Καλαμάτας · #28

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ
1. Για τα σωστο-λάθος περιμένω σχόλιο του κ. Κυριακόπουλου. ( Να προβλέψω το ίδιο για τη γεωμετρική λύση του μιγαδικού με το μικρότερο μέτρο;)
2. Για τη συνέχεια στο 4α νομίζω ότι θα έχουμε κουβέντα, το τι έπρεπε να κάνουν ακριβώς οι μαθητές...
3. Νομίζω όμως (με κάθε επιφύλαξη γιατί το τηλέφωνο μου δε σταματά να χτυπά) ότι θα ήταν πιο καλό τα ερωτήματα 4α και 4β να δινόταν με αντίστροφη σειρά, δηλαδή πρώτα να ζητήσουν την παραγωγισιμότητα στο ανοικτό και μετά τη συνέχεια στο κλειστό, αν και δεν είναι συνηθισμένο. Αυτό γιατί οι μαθητές δεν ήξεραν αν πρέπει να ξαναγράψουν τις δικαιολογήσεις με το φόβο μήπως χάσουν μονάδες..Μπείτε στη λογική τους για να καταλάβετε τι λέω, σχεδόν όλοι το μου το αναφέρανε....

Περισσότερο το βράδυ με πιο καθαρό μυαλό...
Καλά αποτελέσματα και του χρόνου με υγεία!!!!

paganini · #29

vasilis kalamatas έγραψε:ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ
1. Για τα σωστο-λάθος περιμένω σχόλιο του κ. Κυριακόπουλου. ( Να προβλέψω το ίδιο για τη γεωμετρική λύση του μιγαδικού με το μικρότερο μέτρο;)
2. Για τη συνέχεια στο 4α νομίζω ότι θα έχουμε κουβέντα, το τι έπρεπε να κάνουν ακριβώς οι μαθητές...
3. Νομίζω όμως (με κάθε επιφύλαξη γιατί το τηλέφωνο μου δε σταματά να χτυπά) ότι θα ήταν πιο καλό τα ερωτήματα 4α και 4β να δινόταν με αντίστροφη σειρά, δηλαδή πρώτα να ζητήσουν την παραγωγισιμότητα στο ανοικτό και μετά τη συνέχεια στο κλειστό, αν και δεν είναι συνηθισμένο. Αυτό γιατί οι μαθητές δεν ήξεραν αν πρέπει να ξαναγράψουν τις δικαιολογήσεις με το φόβο μήπως χάσουν μονάδες..Μπείτε στη λογική τους για να καταλάβετε τι λέω, σχεδόν όλοι το μου το αναφέρανε....

Περισσότερο το βράδυ με πιο καθαρό μυαλό...
Καλά αποτελέσματα και του χρόνου με υγεία!!!!

1.Επειδη ειχα στο νου μου τον κυριο Κυριακοπουλο το ελυσα με παραγωγους!Να στε καλα κυριε Κυριακοπουλε!

#30

vasilis kalamatas έγραψε:......................
θα ήταν πιο καλό τα ερωτήματα 4α και 4β να δινόταν με αντίστροφη σειρά, δηλαδή πρώτα να ζητήσουν την παραγωγισιμότητα στο ανοικτό και μετά τη συνέχεια στο κλειστό, αν και δεν είναι συνηθισμένο. .......................

Καλά αποτελέσματα και του χρόνου με υγεία!!!!

NAI ! Tο κουβεντιάσαμε και μεις αυτό την ώρα της πρόχειρης μοριοδότησης στο βαθμολογικό κέντρο. Πάντως θα κάνουμε ό,τι είναι δυνατό να μην χάσουν άδικα οι μαθητές μόρια, αλλά φυσικά να μην πάρουν μόρια που δεν πρέπει !Μιλάμε δηλαδή για 1-2 μόρια το πολύ !

ΣΧΟΛΙΟ

Να έχετε εμπιστοσύνη στους συναδέλφους σας των Β.κέντρων, διότι θα εκτιμήσουν με μεγάλη ευθύνη τα γραπτά των παιδιών. Όλες οι πιθανές λύσεις θα εντοπιστούν, θα ανακοινωθούν από τους συντονιστές και κανένας μαθητής δεν θα χάσει ούτε ένα μόριο από αυτά που δικαιούται.Οι συντονιστές είμαστε καταπάνω σε κάθε γραπτό και σε κάθε δύσκολη περίπτωση συζητάμε με τους βαθμολογητές τα δύσκολα σημεία .

Και του χρόνου λοιπόν να είμαστε όλοι καλά για να ξαναπούμε με χαμόγελο τα περί των θεμάτων !!!

Καλή συνέχεια στους μαθητές σας !

Μπάμπης

#31

Σχολιασμός θεμάτων :
Θέματα κλασικά αλλά και πιο δύσκολα από πέρσι(στην συλλογή μορίων ).
Τα ερωτήματα 3γ ,4β αλλά ειδικά το 4γ θα συσσωρεύσουν τους βαθμούς καλων μαθητων γύρω από το 16-17 :
ΘΕΜΑ1: θεωρία
ΘΕΜΑ2 : Επανάληψη παλιού θέματος
α. απλό .
β. αν δεν βρεις τη εξίσωση από το α δύσκολα τα πράγματα .
γ. απλό
ΘΕΜΑ3 :
Α .To Fermat έρχεται πάντα δύσκολα αν και κλασικό που δεν εξετάζει μαθηματική σκέψη αλλά απομνημόνευση μεθοδολογίας .
Β α. απλό
β. Εύκολο ειδικά αν κάνεις πινάκα
γ. αν δεν προσέξεις την σχέση από το Α έχει πολύ δουλεία .
ΘΕΜΑ 4:Α. εύκολο αλλά απαιτεί τέλεια διατύπωση
Β. Απλό αν δεν μπερδευτείς και μπλέξεις με ορισμό και βοηθητικό για το ερώτημα γ.
Γ. Δύσκολο γιατί οι επιλογές είναι πολλές και πρέπει να στραφείς στα προηγούμενα ερωτήματα σκεφτόμενος για τι μου ζητησαν για την G συνεχεια [0,2] παραγωγο στο (0 ,2)
Δ. Ατυχές ερώτημα ( γιατί έχει ακριβώς τον ίδιο τρόπο σκέψης με το προηγούμενο ) και δύσκολο γιατί οι επιλογές είναι πολλές και πρέπει να στραφείς στα προηγούμενα ερωτήματα σκεφτόμενος για τι μου ζήτησαν την παραγωγό της G .

ZITAVITA · #32

Για το 3Ββ θα μπορούσαμε να πούμε
εφόσον η f κυρτή (από 3Βα) και παρουσιάζει ακρότατο στο 0 (από 3Α), τότε είναι γν.φθίνουσα στο (-1,0]
και γνησίως αύξουσα στο [0,+άπειρο);
Είναι απόδειξη αυτό;

#33

Βεβαια αν πουμε οτι ειναι συνεχης .
Και ακομα καλυτερα οτι εχει min
Kαι ακομα πιο απλα αν κανουμε πινακα προσημου για f '',f ' f.

ZITAVITA έγραψε:Για το 3Ββ θα μπορούσαμε να πούμε
εφόσον η f κυρτή (από 3Βα) και παρουσιάζει ακρότατο στο 0 (από 3Α), τότε είναι γν.φθίνουσα στο (-1,0]
και γνησίως αύξουσα στο [0,+άπειρο);
Είναι απόδειξη αυτό;

Κώστας Μαλλιάκας · #34

Ήμουν σήμερα εξεταστής-βαθμολογητής σε ειδικό εξεταστικό και αφού λύσαμε τα θέματα και τα συζητήσαμε αποφασίσαμε λόγω μόνο των 5 μορίων να κοπούν 2 μόρια για την καθολική παράλειψη και 1 μόριο αν προσπαθήσει κάπως ανεπιτυχώς γιατί υπήρχαν πολλά θέματα να διαπραγματευτεί και τα 5 μόρια ήταν πολύ λίγα. Επίσης στο 4β που ήθελε απόδειξη της παραγωγισιμότητας αν τότε κάποιος ανέφερε τις γνωστές λεπτομέρειες θα του χαρίζαμε 1 μόριο απο το προηγούμενο ερώτημα γιατί η λογική ήταν ίδια και αντιστρόφως αν δεν αποδείκνυε την παραγωγισιμότητα αλλά στο προηγούμενο εξηγούσε την συνέχεια θα έχανε στο 4β μόνο 2 μόρια...
Πάνω σε αυτή την λογική κινούμασταν αλλά επειδή η εξέταση ήταν προφορική ήταν πιο εύκολο να καταλάβουμε αν ήταν άγνοια ή παράλειψη...

Κώστας Μαλλιάκας · #35

kapapi έγραψε:Ερώτηση προς τους συναδελφους του forum.

Στο 2 α) : Θεωρούμε δεδομένο ότι οι εικόνες είναι πάνω σε ευθεία και απλά ψάχνουμε την εξίσωσή της;

Κάποιος μαθητής σήμερα που εξέταζα προφορικά θεώρησε γνωστό ότι οι εικόνες των μιγαδικών ανήκουν σε ευθεία , βρήκε βάζοντας 2 διαφορετικές τιμές στο λ δύο τέτοιους μιγαδικούς και την ευθεία που ορίζουν αυτές και αυτή ήταν η ζητούμενη ευθεία. Εμείς (3 μαθηματικοί της επιτροπής μας) το θεωρήσαμε σωστό γιατί η εκφώνηση θεωρεί δεδομένο ότι ανήκουν σε ευθεία και απλώς ψάχνουμε την εξίσωση της. Δηλαδή αν έγινα κατανοητός είναι τέτοια η εκφώνηση που δεν απαιτεί να αποδείξεις ότι είναι ευθεία...
Ας μην έχουμε λοιπόν στο μυαλό μας τις παραδοσιακές εκφωνήσεις που ζητούν να βρούμε σε ποια γραμμή κινούνται οι εικόνες των μιγαδικών...

k-ser · #36

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:Να έχετε εμπιστοσύνη στους συναδέλφους σας των Β.κέντρων, διότι θα εκτιμήσουν με μεγάλη ευθύνη τα γραπτά των παιδιών. Όλες οι πιθανές λύσεις θα εντοπιστούν, θα ανακοινωθούν από τους συντονιστές και κανένας μαθητής δεν θα χάσει ούτε ένα μόριο από αυτά που δικαιούται.Οι συντονιστές είμαστε καταπάνω σε κάθε γραπτό και σε κάθε δύσκολη περίπτωση συζητάμε με τους βαθμολογητές τα δύσκολα σημεία .

Μπάμπη,
το σχόλιό σου είναι ευχή όλων.

kapapi έγραψε:Στο 2 α) : Θεωρούμε δεδομένο ότι οι εικόνες είναι πάνω σε ευθεία και απλά ψάχνουμε την εξίσωσή της;

Ήμουν έτοιμος να απαντήσω όχι! Ξανακοιτάζοντας την διατύπωση του ερωτήματος η απάντηση είναι Ναι!
Έτσι, κάποιος μαθητής, είχε το δικαίωμα να θεωρήσει Αχ + Βψ + Γ = 0 (1) την εξίσωση της ευθείας πάνω στην οποία βρίσκονται οι εικόνες των z. Κατόπιν, να θεωρήσει τρεις μιγαδικούς z, για 3 τιμές του λ, οι εικόνες των οποίων επαληθεύουν την (1). Υπολογίζει τις τιμές των Α, Β, Γ και βρίσκει την εξίσωση ψ=χ-2. Σ' αυτό το σημείο πρέπει να επαληθεύσει ότι οι εικόνες των z επαληθεύουν την ψ=χ-2 για κάθε τιμή του λ.

Μια απάντηση σε ερώτηση προηγούμενου μήνυματος, για τον τρόπο επίλυσης του 2β.
Δεν ξέρω αν κάποιος συνάδελφος έχει δώσει λύση διαφορετική από την "γεωμετρική"
Μια λύση θα ήταν και η ακόλουθη:
$|z|=\sqrt{(2\lambda+1)^2+(2\lambda-1)^2}=\sqrt{2}\sqrt{4\lambda ^2+1} \geq\sqrt{2}= |(2\cdot 0+1)+(2\cdot 0-1)i|$
Άρα ο z με το μικρότερο δυνατό μέτρο είναι ο $(2\cdot 0+1)+(2\cdot 0 -1)i$ δηλαδή ο $\displaystyle z_0$
ή
$|z|\geq|z_0|\Leftrightarrow .......\Leftrightarrow 8\lambda ^2 \geq 0$ . Το ίσον ισχύει όταν λ=0 οπότε ο z συμπίπτει με τον z_0

.

Τέλος, μια απάντηση σε ερώτηση για την συνέχεια της G, στο 4α.
Δείχνουμε, με τη βοήθεια του ορισμού της συνέχειας σε σημείο, ότι η G είναι συνεχής στο 0 και
με την βοήθεια των προτάσεων συνέχειας, παραγωγισιμότητας ότι η G είναι συνεχής, (και παραγωγίσιμη), στο (0,2].
Δεν είναι απαραίτητο στο x_0=2

να θεωρήσουμε το πλευρικό όριο.

Σχόλιο για τα θέματα, παρατηρώντας τις αντιδράσεις των μαθητών: Μάλλον τους δυσκόλεψαν - το 3ο και 4ο.
Η βαθμολογία θα δείξει καλύτερα.

Κώστας Μαλλιάκας · #37

Συμφωνώ με την λύση στο 2α του κ.Σερίφη μιας και την είχα και εγώ έτοιμη πριν να εξετάσω σήμερα προφορικά σε περίπτωση που κάποιος μαθητής την έβρισκε.
Δηλαδή μέτρο z = τετρ. ρίζα 8λ τετράγωνο + 2 και ελάχιστο μέτρο = τερ.ρίζα 2 άρα λ=0...
Επίσης αν προσέξετε την διατύπωση του θέματος ζητάει να δείξουμε ότι ο Z0 έχει απλώς το ελάχιστο δυνατό μέτρο και δεν σε υποχρεώνει να δείξεις ότι είναι και ο μοναδικός τέτοιος μιγαδικός. Οπότε αν βρεις ότι το ελάχιστο δυνατό μέτρο είναι d(O,ε)=...=τετρ.ρίζα2
και ότι το μέτρο του Z0 είναι τόσο και ανήκει στην ευθεία αυτή τότε η λύση πρέπει να θεωρηθεί σωστή. Εναλλακτικά το τρίγωνο που ορίζεται από τα σημεία τομής της ε με τους άξονες είναι ορθογώνιο και ισοσκελές οπότε το ύψος είναι και διάμεσος και ο μιγαδικός με το ελάχιστο μέτρο έχει εικόνα το μέσο της υποτείνουσας δηλαδή το (1,-1) και επομένως είναι ο Z0 = 1-i.

paganini · #38

k-ser έγραψε:
Μια απάντηση σε ερώτηση προηγούμενου μήνυματος, για τον τρόπο επίλυσης του 2β.
Δεν ξέρω αν κάποιος συνάδελφος έχει δώσει λύση διαφορετική από την "γεωμετρική"

Ας παραθεσω και τη δικια μου λυση στο 2β και ας γραψω πρωτη φορα με Latex!
$|z|=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{x^2+(x-2)^2}=f(x).$ Παραγωγίζοντας
$\acute{f(x)}=\frac{2x+2(x-2)}{2\sqrt{x^2+(x-2)^2}}=\frac{2(x-1)}{\sqrt{x^2+(x-2)^2}}$ Μελετωντας προκύπτει οτι παρουσιαζει ελαχιστο για χ=1.Αρα y=-1 και $z_{o}=1-i$ Ευκολο τελικα το Latex!

paulgai · #39

Προσωπικά το 3 Β γ μου φάνηκε 'κάπως', αφού λύνεται με τεχνικές πρώτης
Λυκείου και τη ρίζα μπορείς να τη βρεις και είναι και μοναδική. Κακώς,
κατά την γνώμη μου, ζητά να αποδείξεις ότι υπάρχει ρίζα. Συγκεκριμένα παρατηρούμε ότι:
$A=f(\beta)-1>0$ , $B=f(\gamma)-1>0$
άρα θέλω να βρω τη ρίζα της:
$\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-2}=0$ , όμως για $x\neq 1$ και $x\neq 2$ θα έχουμε:
$x=\frac{2A+B}{A+B}$ και προφανώς ισχύει: $1<\frac{2A+B}{A+B}<2$ (αφού A>0

και

). Επομένως η ρίζα θα είναι:
$x=\frac{2f(\beta)+f(\gamma)-3}{f(\beta)+f(\gamma)-2}$

ENIALIS · #40

Κώστας Μαλλιάκας έγραψε:Ήμουν σήμερα εξεταστής-βαθμολογητής σε ειδικό εξεταστικό και αφού λύσαμε τα θέματα και τα συζητήσαμε αποφασίσαμε λόγω μόνο των 5 μορίων να κοπούν 2 μόρια για την καθολική παράλειψη και 1 μόριο αν προσπαθήσει κάπως ανεπιτυχώς γιατί υπήρχαν πολλά θέματα να διαπραγματευτεί και τα 5 μόρια ήταν πολύ λίγα. Επίσης στο 4β που ήθελε απόδειξη της παραγωγισιμότητας αν τότε κάποιος ανέφερε τις γνωστές λεπτομέρειες θα του χαρίζαμε 1 μόριο απο το προηγούμενο ερώτημα γιατί η λογική ήταν ίδια και αντιστρόφως αν δεν αποδείκνυε την παραγωγισιμότητα αλλά στο προηγούμενο εξηγούσε την συνέχεια θα έχανε στο 4β μόνο 2 μόρια...
Πάνω σε αυτή την λογική κινούμασταν αλλά επειδή η εξέταση ήταν προφορική ήταν πιο εύκολο να καταλάβουμε αν ήταν άγνοια ή παράλειψη...

Δεν καταλαβαινω γιατι να κοψεις κατι. Μηπως εχω καταλαβει κατι λαθος? Η ερωτηση ειναι : τι χάνει κανεις αν αναφερει οτι ειναι συνεχης στο 0 με ορισμο,
και στο (0,2] διοτι ....
αλλα δεν αναφερει ξεχωριστα το 2.
Η απαντηση μου ειναι οτι δεν χανει τιποτα, διοτι το 2 δεν ειναι τιποτα ξεχωριστο.
Με αυτη τη λογικη θα επρεπε να του κοψουν που δεν απεδειξε οτι ειναι συνεχης και στο 1,2383456

ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009

Re: ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009

Re: ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009

Re: ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009

Re: ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009

Re: ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009

Re: ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009

Re: ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009

Re: ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009

Re: ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009

Re: ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009

Re: ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009

Re: ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009

Re: ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009

Re: ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009

Re: ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009

Re: ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009

Re: ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009

Re: ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009

Re: ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009

Re: ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009

Μέλη σε σύνδεση