Το a την άλλη φορά

KARKAR · #1

Να βρεθεί σχέση μεταξύ των μη μηδενικών και διαφορετικών μεταξύ τους , πραγματικών αριθμών a , b , c

,

ώστε η εξίσωση : $ax^{2}+ bx + c = 0$ , να έχει ως ρίζες τους αριθμούς b , c

.

Το παράδειγμα δίνει αρκετά μόρια !

#2

Χρήστος

hlkampel · #3

Έστω

και

οι ρίζες της εξίσωσης.
Τότε: $\left\{ \begin{array}{l} x_1 + x_2 = - \frac{b}{a} \\ x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} b + c = - \frac{b}{a} \\ b \cdot c = \frac{c}{a} \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{a} + c = - \frac{b}{a} \\ b = \frac{1}{a} \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} c = - \frac{{a + 1}}{{a^2 }} \\ b = \frac{1}{a} \\ \end{array} \right.$

π.χ. η εξίσωση $3x^2 + \frac{1}{3}x - \frac{4}{9} = 0$ έχει ρίζες $x_1 = \frac{1}{3}$ και $x_2 = - \frac{4}{9}$ και για τα a,b,c ισχύουν οι παραπάνω σχέσεις.

#4

Να προσθέσω στη λύση του Ηλία, παραπάνω, ότι πρέπει να είναι: $\displaystyle c \le \frac{1}{4}$

Πράγματι, για τους πραγματικούς $\displaystyle a,\;b,\;c \ne 0$ ισχύει: $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} b + c = - \frac{b}{a} \\ b \cdot c = \frac{c}{a} \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} b + c = - \frac{b}{a}\;\;\;\left( 1 \right) \\ b = \frac{1}{a}\;\;\;\;\left( 2 \right) \\ \end{array} \right.$

Οπότε η (1) γράφεται: $\displaystyle b^2 + b + c = 0$

Για να μην είναι αδύνατη πρέπει $\displaystyle c \le \frac{1}{4}$

Το a την άλλη φορά

Το a την άλλη φορά

Re: Το a την άλλη φορά

Re: Το a την άλλη φορά

Re: Το a την άλλη φορά

Μέλη σε σύνδεση