Κλειστό υποσύνολο

mathxl · #1

Εδώ viewtopic.php?f=6&t=15719&start=20 η άσκηση 8
Έστω το σύνολο $\displaystyle{A = \left\{ {\left( {x,y,z} \right) \in {R^3}/{x^2} + {y^2} = {z^5} \wedge x + y + z = 0} \right\}}$ . Είναι το σύνολο Α κλειστό υποσύνολο του $\displaystyle{{{R^3}}}$ ;

#2

mathxl έγραψε:Εδώ viewtopic.php?f=6&t=15719&start=20 η άσκηση 8
Έστω το σύνολο $\displaystyle{A = \left\{ {\left( {x,y,z} \right) \in {R^3}/{x^2} + {y^2} = {z^5} \wedge x + y + z = 0} \right\}}$ . Είναι το σύνολο Α κλειστό υποσύνολο του $\displaystyle{{{R^3}}}$ ?

Νομίζω πως είναι.

Κλειστό είναι ένα υποσύνολο, όταν περιέχει τα οριακά του σημεία.

Έστω (x_0,y_0,z_0)

ένα οριακό σημείο του Α, τότε θα υπάρχει ακολουθία (x_n,y_n,z_n)

σημείων του Α με

$x_n \to x_0, y_n \to y_0 , z_n \to z_0$

Άρα $\displaystyle{x_n^2+y_n^2= z_n^5 \Rightarrow \lim(x_n^2+y_n^2)=\lim z_n^5 \Rightarrow x_0^2+y_0^2=z_0^5}$ και

$\displaystyle{x_n+y_n+z_n=0 \Rightarrow \lim(x_n+y_n+z_n)=0 \Rightarrow x_0+y_0+z_0=0}$ , άρα

$(x_0,y_0,z_0) \in$ Α, όπως θέλουμε.

#3

Kαλή σας μέρα. Μία άλλη προσέγγιση θα μπορούσε να ήταν οι ακόλουθη: Οι συναρτήσεις $f\left( x,y,z\right) =x^{2}+y^{2}-z^{5}$ και $g\left( x,y,z\right) =x+y+z$ ορισμένες στο $\mathbb{R}^{3}$ είναι συνεχείς και $A=f^{-1}\left( \left\{ 0\right\} \right) \cap g^{-1}\left( \left\{ 0\right\} \right)$ =τομή κλειστών=κλειστό.
Μαυρογιάννης

#4

Η προσέγγιση του Νίκου είναι καλύτερη, γιατί με αυτόν τον τρόπο (δηλαδή της συνέχειας των συναρτήσεων) μπορούμε να απαντήσουμε στο ότι το σύνολο $\displaystyle{B = \left\{ {\left( {x,y,z} \right) \in {R^3}/{x^2} + {y^2} > {z^5} \wedge x + y + z <0} \right\}}$ είναι ανοικτό.

Κλειστό υποσύνολο

Κλειστό υποσύνολο

Re: Κλειστό υποσύνολο

Re: Κλειστό υποσύνολο

Re: Κλειστό υποσύνολο

Μέλη σε σύνδεση