Ανισότητα και εγγεγραμμένος κύκλος

themiskant · #1

Αν

είναι τα σημεία επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου τριγώνου ABC

ακτίνας

με τις πλευρές του τριγώνου να αποδειχθεί ότι: $DE+EF+FD\leq 3r$

#2

themiskant έγραψε:Αν είναι τα σημεία επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου τριγώνου ακτίνας με τις πλευρές του τριγώνου να αποδειχθεί ότι: $DE+EF+FD\leq 3r$

Κάτι δεν πάει καλά με την άσκηση λ.χ. δεν επαληθεύεται το συμπέρασμα όταν το τρίγωνο είναι ισόπλευρο.
Μαυρογιάννης

#3

Μάλλον, ο Θέμης(;) ήθελε να πει

$\displaystyle{DE+EF+FD\leq 3\sqrt{3}r.}$

Αν $\displaystyle{E\in AC}$ και $\displaystyle{F\in AB}$ , από τον νόμο των συνημιτόνων έχουμε (επειδή είναι $\displaystyle{AF=AE=s-a}$ )

$\displaystyle{EF^2=(s-a)^2+(s-a)^2-2(s-a)(s-a)\cos A=2(s-a)^2(1-\cos A)=4(s-a)^2\sin ^{2}\frac{A}{2},}$

οπότε είναι $\displaystyle{EF=2(s-a)\sin \frac{A}{2},}$ με ανάλογες εκφράσεις για τα $\displaystyle{DE,FD.}$

Τότε, η προς απόδειξη ανισότητα γράφεται

$\displaystyle{\sum 2(s-a)\sin \frac{A}{2}\leq 3\sqrt{3}r,}$

δηλαδή

$\displaystyle{\sum \frac{s-a}{r}\sin \frac{A}{2}\leq \frac{3\sqrt{3}}{2}.}$

Επειδή, όμως, είναι $\displaystyle{\frac{s-a}{r}=\cot \frac{A}{2}}$ κ.τ.λ.

απομένει να αποδειχθεί, ότι

$\displaystyle{\cos \frac{A}{2}+\cos \frac{B}{2}+\cos \frac{C}{2}\leq \frac{3\sqrt{3}}{2},}$

το οποίο, ως γνωστόν, ισχύει.

Ανισότητα και εγγεγραμμένος κύκλος

Ανισότητα και εγγεγραμμένος κύκλος

Re: Ανισότητα και εγγεγραμμένος κύκλος

Re: Ανισότητα και εγγεγραμμένος κύκλος

Μέλη σε σύνδεση