κάποια όρια

stuart clark · #1

i) $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 4}\left(x-6\right)^x}$

ii) $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0}\left(\frac{\left(1+x\right)^{\frac{1}{x}}-e-e^{\frac{x}{2}}}{x^2}\right)}$

iii) $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0}\left(\tan\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\right)^{\frac{1}{x}}}$

stuart clark · #2

iii) $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0}\left(\tan\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\right)^{\frac{1}{x}}}$

$\displaystyle{=\lim_{x\rightarrow 0}\left\{\frac{1+\tan x}{1-\tan x}\right\}^{\frac{1}{x}}}$

$\displaystyle{=\lim_{x\rightarrow 0}\left\{1+\frac{2\tan x}{1-\tan x}\right\}^{\frac{1}{x}}}$

$\displaystyle{= e^{\lim_{x\rightarrow 0}\left(\frac{2\tan x}{1-\tan x}\right)\frac{1}{x}} = e^2}$

χρησιμοποιώντας $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\tan x}{x}=1}$

#3

stuart clark έγραψε:iii) $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0}\left(\tan\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\right)^{\frac{1}{x}}}$

$\displaystyle{=\lim_{x\rightarrow 0}\left\{\frac{1+\tan x}{1-\tan x}\right\}^{\frac{1}{x}}}$

${\color{redrose}\displaystyle{=\lim_{x\rightarrow 0}\left\{1+\frac{2\tan x}{1-\tan x}\right\}^{\frac{1}{x}}}}$

${\color{redrose}\displaystyle= e^{\lim_{x\rightarrow 0}\left(\frac{2\tan x}{1-\tan x}\right)\frac{1}{x}}$

χρησιμοποιώντας $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\tan x}{x}=1}$

ποια είναι τα βήματα από το $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0}\left\{1+\frac{2\tan x}{1-\tan x}\right\}^{\frac{1}{x}}}$ στο $\displaystyle e^{\lim_{x\rightarrow 0}\left(\frac{2\tan x}{1-\tan x}\right)\frac{1}{x}}$ ;

[which are the steps from the first to the second?]

ποιο φυσιολογικός είναι ο μετασχηματισμός $\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0}\left(\tan\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\right)^{\frac{1}{x}}= \exp\Bigl[{\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\ln\left({\tan\left({x+\frac{\pi}{4}}\right)}\right)}{x}}\Bigr]$ ,

όπου μπορεί να εφαρμοστεί ο κανόνας De L' Hospital.

$\displaystyle\exp\Bigl[{\mathop{\lim}\limits_{x\rightarrow0}\frac{\left({\ln\bigl({\tan\left({x+\frac{\pi}{4}}\right)}\bigr)}\right)^{\prime}}{({x})^{\prime}}}\Bigr]=\exp\Bigl[{\mathop{\lim}\limits_{x\rightarrow0}\frac {1}{\cos\left({x+\frac{\pi}{4}}\right)\,\sin\left({x+\frac{\pi}{4}}\right)}}\Bigr]=e^2$

parmenides51 · #4

stuart clark έγραψε:i) $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 4}\left(x-6\right)^x}$

Μια ιδέα

$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 4}\left(x-6\right)^x=(4-6)^4=(-2)^4=16}$

edit:

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#5

parmenides51 έγραψε:
stuart clark έγραψε:i) $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 4}\left(x-6\right)^x}$
Μια ιδέα

$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 4}\left(x-6\right)^x=(4-6)^4=(-2)^4=16}$

edit:
ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Έχει φοβηθεί το μάτι μου αυτόν τον φάκελο ...

Νομίζω ότι εδώ υπάρχει πρόβλημα: Σε ποιο πλαίσιο συζητάμε; Πως ορίζεται η συνάρτηση $\left( x-6\right) ^{x}$ ;

parmenides51 · #6

Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης $\displaystyle{(x-6)^{x}}$ σύμφωνα με τον Δάσκαλό εδώ είναι το $\displaystyle{[6,+\infty)\cup{}\{k<6:k\in\mathbb{Z}\}=[6,+\infty)\cup{}\{5,4,3,2,1,0,-1,...\}}$

οπότε δεν ορίζεται ανοικτό σύνολο με άκρο την τιμή $\displaystyle{x=4}$ ώστε να πάρουμε όριο στο $\displaystyle{4}$ ,
δηλαδή όπως λέμε και στο λύκειο δεν έχει έννοια η αναζήτηση ορίου για $\displaystyle{x=4}$ .

Καλά το σκέφτηκα; Ισχύει αυτό και στα όρια στα ΑΕΙ;

Υ.Γ. ο Κύριος Clark με ενημέρωσε πως το συγκεκριμένο όριο δεν υπάρχει.

#7

Η αναζήτηση του ορίου μίας συνάρτησης (γενικά, στα σχολικά Μαθηματικά τα πράγματα είναι πιο περιορισμένα)

στο $\sigma \in \mathbb{R}\cup \left\{ -\infty ,+\infty \right\}$ έχει νόημα αν το $\sigma$ είναι σημείο συσσώρευσης του πεδίου ορισμού της

(όχι κατ' ανάγκην να είναι άκρο υποδιαστήματος του πεδίου ορισμού) δηλαδή κάθε περιοχή του $\sigma$ περιέχει ένα τουλάχιστον σημείο του πεδίου ορισμού της

διαφορετικό του $\sigma$ . Εδώ αυτό δεν συμβαίνει και επομένως δεν τίθεται θέμα αναζήτησης ορίου.
Μαυρογιάννης

κάποια όρια

κάποια όρια

Re: κάποια όρια

Re: κάποια όρια

Re: κάποια όρια

Re: κάποια όρια

Re: κάποια όρια

Re: κάποια όρια

Μέλη σε σύνδεση