Ρητοί-Άρρητοι

#1

Αν $x, y \in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}$ και οι αριθμοί x^2+y, y^2+x,x+y

είναι όλοι ρητοί, να αποδείξετε ότι $xy<\frac {1}{4}$

Ιστοσελίδα · #2

$x^2+y , y^2+x \in\mathbb{Q},$ άρα $x^2+y-y^2-x = (x+y)(x-y)-(x-y)=(x-y)(x+y-1) \in\mathbb{Q}.$

$x+y \in\mathbb{Q} \Rightarrow x+y-1 \in\mathbb{Q}.$

Αν $x+y-1\neq 0,$ τότε $(x-y)(x+y-1)=\rho (\rho\in\mathbb{Q}) \Rightarrow x-y=\dfrac{\rho}{x+y-1}=r_1\in\mathbb{Q}.$

Αν θέσουμε $x+y=r_2 \in\mathbb{Q}$ με πρόσθεση κατά μέλη $2x=r_1+r_2 \Rightarrow x=\dfrac{r_1+r_2}{2}\in\mathbb{Q},$ άτοπο.

Άρα $x+y-1=0 \Rightarrow y=1-x.$

$xy = x(1-x) = -x^2+x = -\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{1}{4} \leq \dfrac{1}{4}.$

Η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν $x=\dfrac{1}{2}=y\in\mathbb{Q} ,$ άτοπο.

Επομένως, $xy < \dfrac{1}{4}.$

Ρητοί-Άρρητοι

Ρητοί-Άρρητοι

Re: Ρητοί-Άρρητοι

Μέλη σε σύνδεση