Περίμετρος και εμβαδό

Γιώργος Απόκης · #1

Να βρεθούν όλα τα ορθογώνια με μήκη πλευρών ακέραιους, με την ιδιότητα:

η περίμετρος να ισούται (αριθμητικά) με το εμβαδό.

#2

Αν $\displaystyle{x,y}$ είναι οι διαστάσεις του ορθογωνίου, θέλουμε να ισχύει $\displaystyle{2x+2y=xy.}$

Είναι $\displaystyle{(x-2)(y-2)=xy-2x-2y+4=4,}$ άρα υπάρχουν οι δυνατότητες

$\displaystyle{x-2=1,y-2=4}$ , οπότε $\displaystyle{x=3,y=6}$

και

$\displaystyle{x-2=y-2=2,}$ οπότε $\displaystyle{x=y=4.}$

#3

άρα $a = 2 + \frac {4}{b-2}$ άρα b-2 = 1, 2 , 4

και λοιπά.

Μ.

ΚωσταςΚ · #4

Είχε τεθεί σε ευκλειδη για την α λυκείου παλιότερα νομίζω

KARKAR · #5

Δες και αυτό :viewtopic.php?f=6&t=12051

#6

George73 έγραψε:Να βρεθούν όλα τα ορθογώνια με μήκη πλευρών ακέραιους, με την ιδιότητα:

η περίμετρος να ισούται (αριθμητικά) με το εμβαδό.

Ας μου επιτραπεί να θέσω και το εξής παραπλήσιο:

Να βρεθούν όλα τα ορθογώνια τρίγωνα με μήκη πλευρών ακέραιους, με την ιδιότητα:

η περίμετρος να ισούται (αριθμητικά) με το εμβαδό.

Γιώργος Απόκης · #7

Έστω

οι κάθετες πλευρές. Τότε, πρέπει να ισχύει
$\displaystyle{a+b+\sqrt{a^2+b^2}=\frac{1}{2}ab \Leftrightarrow a^2+b^2=a^2+2ab-a^2b+b^2-ab^2+\frac{a^2b^2}{4} \Leftrightarrow a=4+\frac{8}{b-4}}$ .

Δηλαδή, πρέπει το b-4

να είναι διαιρέτης του 8. Δηλ 1,2,4,8

Έχουμε ( $b-4=1 \Leftrightarrow b=5,a=12$ ) ή ( $b-4=2 \Leftrightarrow b=6,a=8$ ) ή ( $b-4=4 \Leftrightarrow b=8,a=6$ ) ή ( $b-4=8 \Leftrightarrow b=12,a=5$ ).

Eukleidis · #8

Έχουν συζητηθεί σε αυτά τα θέματα:

George73 έγραψε:Να βρεθούν όλα τα ορθογώνια με μήκη πλευρών ακέραιους, με την ιδιότητα:

η περίμετρος να ισούται (αριθμητικά) με το εμβαδό.

viewtopic.php?f=6&t=12051&p=65537&hilit ... %BF#p65537
viewtopic.php?f=35&t=11396&p=62424&hili ... %BF#p62424

matha έγραψε:
George73 έγραψε:Να βρεθούν όλα τα ορθογώνια με μήκη πλευρών ακέραιους, με την ιδιότητα:

η περίμετρος να ισούται (αριθμητικά) με το εμβαδό.

Ας μου επιτραπεί να θέσω και το εξής παραπλήσιο:

Να βρεθούν όλα τα ορθογώνια τρίγωνα με μήκη πλευρών ακέραιους, με την ιδιότητα:

η περίμετρος να ισούται (αριθμητικά) με το εμβαδό.

viewtopic.php?f=69&t=4447&p=24841&hilit ... %82#p24841

Γιώργος Απόκης · #9

Παραθέτω ένα άλλο ερώτημα:

Να εξετάσετε αν υπάρχουν μη ορθογώνια τρίγωνα (με μήκη πλευρών ακέραιους)
με την ιδιότητα η περίμετρος να ισούται (αριθμητικά) με το εμβαδό.

(Δεν το έχω απαντήσει)

Εdit: Συμπλήρωσα την κόκκινη παρένθεση!

#10

George73 έγραψε:Παραθέτω ένα άλλο ερώτημα:

Να εξετάσετε αν υπάρχουν μη ορθογώνια τρίγωνα με την ιδιότητα η περίμετρος να ισούται (αριθμητικά) με το εμβαδό.

(Δεν το έχω απαντήσει)

Μία απάντηση του ποδαριού:

Έστω τρίγωνο εμβαδού $\displaystyle{E}$ . Κρατάμε μία πλευρά του τριγώνου (εκείνη που είναι $\displaystyle{<E}$ , αφού διαφορετικά δεν θα υπήρχε λύση) σταθερή και μετακινούμε την 3η κορυφή παράλληλα στη σταθερή πλευρά και σε κατάλληλη απόσταση από αυτήν, μέχρι να επιτευχθεί το ζητούμενο.

Γιώργος Απόκης · #11

Είχα ξεχάσει να συμπληρώσω: ακέραια μήκη!

#12

George73 έγραψε:Είχα ξεχάσει να συμπληρώσω: ακέραια μήκη!

Ε, τότε αλλάζει!

Ενδιαφέρον ερώτημα.

Στο βιβλίο του Christopher Bradley, Challenges in Geometry, Oxford University Press, υπάρχει μια παράγραφος (η 1.5, σελ. 15), η οποία αναφέρεται σε αυτά ακριβώς τα τρίγωνα (τα οποία ο συγγραφέας αποκαλεί equable).

Λέει λοιπόν, ότι τέτοια υπάρχουν μόνο 5! Δύο εξ αυτών είναι ορθογώνια (τα βρήκαμε παραπάνω) και τα άλλα τρία είναι τα

$\displaystyle{(6,25,29),(7,15,20),(9,10,17)}$ , όλα αμβλυγώνια.

Υ.Γ. Το παραπάνω βιβλίο, έχει θα έλεγα παραπλανητικό τίτλο. Ασχολείται κυρίως με προβλήματα θεωρίας αριθμών, τα οποία εμφανίζονται σε γεωμετρικά θέματα.

EDIT* Να η επίμαχη παράγραφος.

Γιώργος Απόκης · #13

Ευχαριστώ. Πράγματι ενδιαφέρουσα παράγραφος κι άλλο τόσο το αποτέλεσμα!

Γιώργος Απόκης · #14

Μία σκέψη για την οποία δεν έχω ακόμα απαντήσει:

Να βρεθούν όλα τα ορθογώνια παραλληλεπίπεδα με μήκη ακμών $a,b,c \in \mathbb N^{*}$ με την ιδιότητα:

ο όγκος τους να ισούται (αριθμητικά) με την ολική τους επιφάνεια.

Υ.Γ. Υπάρχει τουλάχιστον ένα: ο κύβος με ακμή a=6

, που είναι και ο μόνος κύβος με την ιδιότητα αυτή.

Πράγματι, έχουμε $V=E\Leftrightarrow a^3=6a^2 \overset{a>0}\Leftrightarrow a=6$ .

Γιώργος Απόκης · #15

Επαναφέρω για συζήτηση το τελευταίο...

Περίμετρος και εμβαδό

Περίμετρος και εμβαδό

Re: Περίμετρος και εμβαδό

Re: Περίμετρος και εμβαδό

Re: Περίμετρος και εμβαδό

Re: Περίμετρος και εμβαδό

Re: Περίμετρος και εμβαδό

Re: Περίμετρος και εμβαδό

Re: Περίμετρος και εμβαδό

Re: Περίμετρος και εμβαδό

Re: Περίμετρος και εμβαδό

Re: Περίμετρος και εμβαδό

Re: Περίμετρος και εμβαδό

Re: Περίμετρος και εμβαδό

Re: Περίμετρος και εμβαδό

Re: Περίμετρος και εμβαδό

Μέλη σε σύνδεση