εξίσωση με ακέραιο μέρος

stuart clark · #1

Αν $\lfloor x+0.19 \rfloor +\lfloor x+0.20\rfloor +\lfloor x+0.21 \rfloor+.......................+\lfloor x+0.91 \rfloor = 546$ .τότε

. όπου $\lfloor x \rfloor =$ η συνάρτηση ακέραιο μέρος

Edit από Γενικούς Συντονιστές: Διορθώθηκαν τα ελληνικά.

#2

Είναι $S=0.19+0.20+...+0.91=\frac{73}{2}(0.19+0.91)=40.15$

Επειδή για κάθε πραγματικό χ είναι: $[x]\leq x$ , έχουμε

$LHS\leq 73x+S\Rightarrow 546\leq 73x+40.15\Rightarrow x>6.92$

Εστιάζοντας στον πρώτο όρο του αθροίσματος, μετά στους 4 επόμενους και τέλος στους 68 τελευταίους έχουμε:

$LHS\geq 6+4\cdot 7+68\cdot 8\Rightarrow 546\geq 578$

άτοπο, κ.λπ.

#3

Με την επιφύλαξη μήπως δεν έκανα σωστά τις πράξεις (που είναι κάμποσες) αλλά τις οποίες έχω ελέγξει δύο φορές, βγάζω απάντηση:

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Στο παραπάνω υπάρχει λογιστικό σφάλμα. Για την ώρα, δεν γράφω την λύση. Πάντως η άσκηση είναι ανιαρή. Θα είχαμε διδακτικά ακριβώς το ίδιο αποτέλεσμα αν οι προσθετέοι ήσαν λίγοι, π.χ. δέκα το πολύ. Δεν υπάρχει λόγος να θέτουμε ασκήσεις που παιδεύουν τον κοσμάκη, χωρίς να προσθέτουν ουσία. Ας όψεται ο stuart clark.

Φιλικά,

Μιχάλης

#4

stuart clark έγραψε:Αν $\lfloor x+0.19 \rfloor +\lfloor x+0.20\rfloor +\lfloor x+0.21 \rfloor+.............+\lfloor x+0.91 \rfloor = 546$ .τότε . όπου $\lfloor x \rfloor =$ η συνάρτηση ακέραιο μέρος

Λύση το σύνολο $[7,43, \,\,\, 7,44)$ .

Πράγματι,

α) αν x<7,43

τότε οι 39 αριθμοί $x+0,19, \, ... \, , x+0,56$ είναι

και οι 34 αριθμοί $x+57, \,...\, , x+0,91$ είναι

. Άρα το ακέραιο μέρος των μεν είναι 7 ή λιγότερο και των δε 8 ή λιγότερο. Άρα το άθροισμα $\lfloor x+0.19 \rfloor +...+\lfloor x+0.91 \rfloor \le 39\cdot 7 + 34\cdot8 = 545<546$

β) αν $x \ge7,44$ τότε οι 37 αριθμοί $x+0,19, \, ... \, , x+0,55$ είναι $\ge 7$ και οι 36 αριθμοί $x+56, \,...\, , x+0,91$ είναι $\ge 8$ . Άρα το ακέραιο μέρος των μεν είναι 7 ή περισσότερο και των δε 8 ή περισσότερο. Άρα το άθροισμα $\lfloor x+0.19 \rfloor +...+\lfloor x+0.91 \rfloor \ge 37\cdot 7 + 36\cdot8 = 547>546$ .

γ) όμοια, αν $7,43 \le x < 7,44$ , εύκολα βλέπουμε ότι οι 38 αριθμοί $x+0,19, \, ... \, x+0,56$ έχουν ακέραιο μέρος 7 και οι 35 αριθμοί $x+57, \,..., x+0,91$ έχουν ακέραιο μέρος 8. Άρα το άθροισμα $\lfloor x+0.19 \rfloor +....+\lfloor x+0.91 \rfloor = 38\cdot 7 + 35\cdot8 = 546$ .

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

#5

Ας καταθέσω την σκέψη μου με την αισιοδοξία να μη ξεφεύγει κάτι:

Είναι $S=0.19+0.20+...+0.91=\frac{73}{2}(0.19+0.91)=40.15$

Επειδή για κάθε πραγματικό χ είναι: $x-1<[x]\leq x$ , έχουμε

$73(x-1)+S<LHS\leq 73x+S\Leftrightarrow 73x-73+40.15<546\leq 73x+40.15$

$\Leftrightarrow \frac{505.85}{73} \leq x< \frac{505.85}{73}+1$ , $\left( \frac{505.85}{73}\cong 6.92\right)$

Επομένως, επειδή ο τελευταίος όρος του αθροίσματος διαφέρει από τον πρώτο λιγότερο από 1, το άθροισμα αυτό θα αποτελείται από 6αρια και 7αρια, ή μόνο από 7αρια (αυτό αποκλείεται αφού 546:7=78 -έπρεπε 73-), ή από 7αρια και 8αρια, ή μόνο από 8αρια (και αυτό αποκλείεται αφού 546:8=68.25), οπότε, για να δούμε τι μπορεί να συμβαίνει, λύνουμε στους φυσικούς αριθμούς τα συστήματα:

$\left\{6n+7m=546,n+m=73 \right\}$ και $\left\{7n+8m=546, n+m=73 \right\}$

Το πρώτο είναι αδύνατο, το δεύτερο έχει λύση n=38,m=35

, που αντιστοιχεί σε 38 7αρια και 35 8αρια.

Επομένως, πρέπει και αρκεί ο 38ος όρος του αθροίσματος να είναι 7 και ο 39ος να είναι 8 που γίνεται αν και μόνο:

$x+0.19+37\cdot 0.01<8 \wedge x+0.19+38\cdot 0.01\geq 8\Leftrightarrow 7.43\leq x<7.44$

stuart clark · #6

ευχαριστώ σε όλους

Χρησιμοποιώ επίσης το ίδιο γεγονός

$\lfloor x\rfloor \leq\lfloor x+a\rfloor\leq\lfloor x\rfloor\ +1;\left(0\leq a\leq1\right)$

εξίσωση με ακέραιο μέρος

εξίσωση με ακέραιο μέρος

Re: εξίσωση με ακέραιο μέρος

Re: εξίσωση με ακέραιο μέρος

Re: εξίσωση με ακέραιο μέρος

Re: εξίσωση με ακέραιο μέρος

Re: εξίσωση με ακέραιο μέρος

Μέλη σε σύνδεση