Τιμές κλάσματος!

#1

Ας βάλουμε και κάτι απλούστερο σε αυτόν το φάκελο:

Αν $\displaystyle{x=\frac{2t}{1+t^2}}$ και $\displaystyle{y=\frac{1-t^2}{1+t^2},}$ με $\displaystyle{t\in \mathbb{R}}$

να αποδείξετε, ότι το κλάσμα

$\displaystyle{K=\frac{7-6x-3y}{9-8x-3y}}$

λαμβάνει τιμές στο διάστημα $\displaystyle{\Big[\frac{1}{2},1\Big].}$

stuart clark · #2

$\displaystyle{x=\frac{2t}{1+t^2}; \; y= \frac{1-t^2}{1+t^2}}$

$\displaystyle{x^2+y^2 = 1}$

ας $\displaystyle{x=\cos \phi\; \; ; \; y=\sin\phi}$

$\displaystyle{K=\frac{7-6x-3y}{9-8x-3y}=\frac{7-6\cos \phi-3\sin \phi}{9-8\cos \phi-3\sin \phi}}$

$\displaystyle{\cos \phi\left(8K-6\right)+\sin \phi\left(3K-3\right) = \left(9K-7\right)}$

τώρα Χρησιμοποιώντας $\mathbb{C.S}$ ανισότητα;

$\displaystyle{\left\{\cos^2 \phi+\sin^2 \phi\right\}\left\{(8K-6)^2+(3K-3)^2\right\}\geq \left\{\cos \phi\left(8K-6\right)+\sin \phi\left(3K-3\right)\right\}^2}$

$\displaystyle{(8K-6)^2+(3K-3)^2\geq \left(9K-7\right)^2}$

$\displaystyle{4\left(2K^2-3K+1\right)\leq 0\Leftrightarrow \left(2K^2-3K+1\right)\leq 0}$

$\displaystyle{(2K-1)(K-1)\leq 0}$

$\displaystyle{\frac{1}{2}\leq K\leq 1\Leftrightarrow K\in \left[\frac{1}{2},1\right]}$

KARKAR · #3

Η άσκηση κερδίζει τον τίτλο : "Η άσκηση της ημέρας"

Η απάντηση τον τίτλο : " Η απάντηση της εβδομάδας"

Συγχαρητήρια ( congratulations ) και στους δύο !

Τιμές κλάσματος!

Τιμές κλάσματος!

Re: Τιμές κλάσματος!

Re: Τιμές κλάσματος!

Μέλη σε σύνδεση