Να λυθεί η εξίσωση(ii)

stuart clark · #1

Να λυθεί η εξίσωση $\displaystyle{x+\sqrt{x}+\sqrt{x+2}}+\sqrt{x^2+2x} = 3$

pana1333 · #2

Προφανώς δε ψάχνουμε αυτή τη λύση....

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

hlkampel · #3

stuart clark έγραψε:Να λυθεί η εξίσωση $\displaystyle{x+\sqrt{x}+\sqrt{x+2}}+\sqrt{x^2+2x} = 3$

Δίνω μια λύση με ύλη Β' Λυκείου.

Με $x \ge 0$ έχουμε:

$x + \sqrt x + \sqrt {x + 2} + \sqrt {{x^2} + 2x} = 3\; \Leftrightarrow$

$x + \sqrt x + \sqrt {x + 2} + \sqrt x \sqrt {x + 2} = 3\;\;(1)$

Θέτω $\sqrt {x + 2} = u \ge \sqrt 2$ , οπότε $x = {u^2} - 2\;(2)$ και η (1) γίνεται:

${u^2} - 2 + \sqrt {{u^2} - 2} + u + u\sqrt {{u^2} - 2} = 3 \Leftrightarrow$

$\left( {u + 1} \right)\sqrt {{u^2} - 2} = 5 - u - {u^2}\mathop \Leftrightarrow \limits^{(*)}$ (Αν και τα δύο μέλη είναι θετικά)

${\left( {u + 1} \right)^2}\left( {{u^2} - 2} \right) = {\left( {5 - u - {u^2}} \right)^2} \Leftrightarrow$

$\left( {{u^2} + 2u + 1} \right)\left( {{u^2} - 2} \right) = 25 + {u^2} + {u^4} - 10u - 10{u^2} + 2{u^3} \Leftrightarrow$

${u^4} - 2{u^2} + 2{u^3} - 4u + {u^2} - 2 = {u^4} + 2{u^3} - 9{u^2} - 10u + 25 \Leftrightarrow$

$8{u^2} + 6u - 27 = 0$

Άρα $u = \frac{3}{2}$ (δεκτή) ή $u = - \frac{9}{4} < 0$ απορρίπτεται

Αν $u = \frac{3}{2}$ , τότε από τη σχέση (2) παίρνουμε ότι:

$x = {\left( {\frac{3}{2}} \right)^2} - 2$ οπότε $x = \frac{1}{4}$ η οποία είναι δεκτή

(*) Με $u = \frac{3}{2}$ η σχέση είναι αληθής.

#4

Με $a=\sqrt{x}$ και $b=\sqrt{x+2}$ , έχουμε να λύσουμε το σύστημα

(a+1)(a+b)=3

(1) και

με $b>a\geq 0$ .

Διαιρώντας κατά μελη τις παραπάνω σχέσεις παίρνουμε

$\dfrac{a+1}{a-b}=-\dfrac{3}{2}\iff 3b=5a+2\iff a+b=\dfrac{8a+2}{3}$ .

Η τελευταία σε συνδυασμό με την (1) μας δίνει

$(a+1)(8a+2)=9\iff 8a^2+10a-7=0\iff (2a-1)(4a+7)=0$ .

Συνεπώς, $a=\dfrac{1}{2}$ (και $b=\dfrac{9}{6}=\dfrac{3}{2}$ ) που μας δίνει $x=\dfrac{1}{4}$ , η οποία εύκολα επαληθεύουμε ότι ικανοποιεί την εξίσωση.

Φιλικά,

Αχιλλέας

GMANS · #5

Για $x\geq 0$ έχουμε
$x+\sqrt{x}+\sqrt{x+2}+\sqrt{x^2+2x}=3\Leftrightarrow$
$2x+2\sqrt{x}+2\sqrt{x+2}+2\sqrt{x^2+2x}=6\Leftrightarrow$
$(2x+2+2\sqrt{x^2+2x})+2(\sqrt{x}+\sqrt{x+2}=8\Leftrightarrow$
$(\sqrt{x}+\sqrt{x+2})^2+2(\sqrt{x}+\sqrt{x+2})-8=0\Leftrightarrow$
$\sqrt{x}+\sqrt{x+2}=2\Leftrightarrow$
$\sqrt{x}+\sqrt{x+2}=2\Leftrightarrow$
$\sqrt{x+2}=2-\sqrt{x},0\leq x\leq 4,$
$x+2=4+x-4\sqrt{x}\Leftrightarrow \sqrt{x}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=\frac{1}{4}$

Να λυθεί η εξίσωση(ii)

Να λυθεί η εξίσωση(ii)

Re: Να λυθεί η εξίσωση(ii)

Re: Να λυθεί η εξίσωση(ii)

Re: Να λυθεί η εξίσωση(ii)

Re: Να λυθεί η εξίσωση(ii)

Μέλη σε σύνδεση