Όρια

konkyr · #1

Αν η $f : \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ είναι παραγωγίσιμη , $f^{\prime}(x)$ συνεχής , $f(x)f^{\prime}(x)\neq 0,x \in \mathbb{R}$ και

παράγουσα της

με $\lim_{\rightarrow+\infty }F(x)= a, \, a \in \mathbb{R}^*$ , να δείξετε ότι

ι) $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)=0$

ii) $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow +\infty}\frac{f^{2}(x)}{f^{\prime}(x)}=0$

Edit από Γενικούς Συντονιστές: Διορθώθηκε ο κώδικας LATEX.

Pla.pa.s · #2

Για το ι)
Επειδή οι

και

είναι συνεχείς και δε μηδενίζονται διατηρούν πρόσημο.
Ας υποθέσουμε ότι οι

και

είναι θετικές (οι υπόλοιπες τρεις περιπτώσεις αντιμετωπίζονται ανάλογα)
Τότε η

είναι γνησίως αύξουσα και κυρτή.
Από Θ.Μ.Τ. για h>0

υπάρχει $\xi \in \left(x,x+h \right)$ ώστε
$\displaystyle{f(\xi )=\frac{F(x+h)-F(x)}{h}}$
κι αφού

γνησίως αύξουσα είναι
$\displaystyle{f(x+h)\geq \frac{F(x+h)-F(x)}{h}\geq f(x)}$ (1)

Επειδή

γνησίως αύξουσα είναι $\displaystyle{\frac{F(x+h)-F(x)}{h} \geq 0$ κι άρα $f(x+h)\geq 0}$ (2)

Συνεπώς από (1)

και

είναι $\displaystyle{\frac{F(x+h)-F(x)}{h} \geq f(x) \geq 0}$ .
Με τον ίδιο τρόπο καταλήγουμε ότι και στις υπόλοιπες περιπτώσεις το f(x)

βρίσκεται ενδιάμεσα των $\displaystyle{\frac{F(x+h)-F(x)}{h}}$ και 0 κι επειδή τα όρια τους στο $+ \infty$ είναι

προκύπτει από κριτήριο παρεμβολής ότι
$\displaystyle{\lim_{x \rightarrow + \infty} f(x) =0}$
Ελπίζω να μην έχω κάνει κάποιο λάθος.

Το ii) δεν το 'χω βρει, μόνο ότι αρκεί να δείξουμε ότι η εφαπτομένη της $\frac{1}{f(x)}$ γίνεται κάθετη καθώς το x μεγαλώνει απεριόριστα. Ελπίζω να μου έρθει κάποια ιδέα.

mathxl · #3

Μία άλλη αντιμετώπιση για το 1
Η f είναι γνησίως μονότονη και συνεχής διότι η $\displaystyle{{f'}}$ είναι συνεχής και μη μηδενιζόμενη άρα διατηρεί σταθερό πρόσημο στο R. Συνεπώς το $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right)}$ υπάρχει, οπότε υπάρχει και το $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {F\left( x \right) + f\left( x \right)} \right)}$

Είναι
$\displaystyle{\alpha = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } F\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{e^x}F\left( x \right)}}{{{e^x}}}\mathop = \limits_{\left( {\frac{{ \pm \infty }}{{ + \infty }}} \right)}^{DLH} \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{e^x}F\left( x \right) + {e^x}f\left( x \right)}}{{{e^x}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {F\left( x \right) + f\left( x \right)} \right)}$

Οπότε
$\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {F\left( x \right) + f\left( x \right) - F\left( x \right)} \right) = \alpha - \alpha = 0}$

Δίνω και μία αντιμετώπιση για το 2 με κενό

χωρίς λόγια
$\displaystyle{\alpha = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } F\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{xF\left( x \right)}}{x}\mathop = \limits_{\left( {\frac{{ \pm \infty }}{{ + \infty }}} \right)}^{DLH} \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{F\left( x \right) + xf\left( x \right)}}{1} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {F\left( x \right) + xf\left( x \right)} \right)}$

$\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {xf\left( x \right)} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {F\left( x \right) + xf\left( x \right) - F\left( x \right)} \right) = \alpha - \alpha = 0}$

$\displaystyle{0 = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {xf\left( x \right)} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{x}{{\frac{1}{{f\left( x \right)}}}}} \right)\mathop = \limits_{\left( {\frac{{ + \infty }}{{ \pm \infty }}} \right)}^{DLH} - \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{{{f^2}\left( x \right)}}{{f'\left( x \right)}}} \right)}$

parmenides51 · #4

Πετυχαίνοντας την ίδια άσκηση με αρκετά ενδιαφέροντα σχόλια εδώ,
θα ήθελα να ρωτήσω εαν οι παραπάνω δυο λύσεις των Pla.pa.s και Βασίλη (mathxl) είναι σωστές και πλήρεις.

parmenides51 · #5

mathxl έγραψε:Μία άλλη αντιμετώπιση για το 1
Η f είναι γνησίως μονότονη και συνεχής διότι η $\displaystyle{{f'}}$ είναι συνεχής και μη μηδενιζόμενη άρα διατηρεί σταθερό πρόσημο στο R. Συνεπώς το $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right)}$ υπάρχει, οπότε υπάρχει και το $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {F\left( x \right) + f\left( x \right)} \right)}$
...

Θα ήταν εύκολο να εξηγήσει κάποιος λίγο πιο αναλυτικά πως από τον παραπάνω συλλογισμό αποδεικνύεται πως υπάρχει το όριο $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right)}$ ;

Στην προαναφερθείσα παραπομπή το del' Hospital είχε πρόβλημα. Τώρα λύθηκε;

edit: Η απάντηση στην παραπάνω μου ερώτηση δόθηκε από τον Βασίλη τελικά,
πως αφού είναι συνεχής και γνήσια μονότονη η συνάρτηση,
το σύνολο τιμών της θα έχει σε κάποιο ανοικτό άκρο το όριο $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right)}$
άρα έμμεσα οφείλει να υπάρχει το συγκεκριμένο όριο.
Δεν πήγε το μυαλό μου εκεί εξαρχής.
Άρα λύθηκε το πρόβλημα με το το del' Hospital .

Όρια

Όρια

Re: Όρια

Re: Όρια

Re: Όρια

Re: Όρια

Μέλη σε σύνδεση