Λίγο απ' όλα, χωρίς τα θεωρήματα της συνέχειας

Pla.pa.s · #21

chris έγραψε:
Pla.pa.s έγραψε:Με βάση την ενθάρρυνση του κου Πρωτοπαπά, προσθέτω τα εξής ερωτήματα.
1)Να βρεθούν τα $f(\mathbb R)$ και $g(\mathbb R^{*})$ .
2)Να βρεθούν οι ασύμπτωτες των .
και το τρίτο το καλύτερο
3)Να δειχθεί ότι η είναι παραγωγίσιμη και να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία η .
Επίσης να υπενθυμίσω το πρώτο ερώτημα "Να δειχθεί ότι υπάρχει μια τέτοια συνάρτηση για την οποία ισχύει η κύρια σχέση του προβλήματος".
Αγαπητέ Pla.pa.s καλησπέρα
Να τονίσω οτι για να βρούμε την αντίστροφη μιας συνάρτησης υποχρεούμαστε να βρούμε πρώτα το σύνολο τιμών της συνάρτησης αλλιώς δεν ξέρουμε το πεδίο ορισμού της αντίστροφης.
Επομένως αφού παραπάνω ζητήθηκε η εύρεση της $f^{-1}$ η εύρεση του $f(\mathbb{R})$ έχει προηγηθεί αναγκαστικά.
Δες και viewtopic.php?f=52&t=3566 για παράδειγμα τα ποστ του κ. Κυριακόπουλου για να καταλάβεις.

Φιλικά

Σωστά

. Ευχαριστώ δεν το είχα δει - συγκεκριμένα είχα στο μυαλό μου μια άλλη λύση που βρίσκεται στη συζήτηση που με παραπέμπεις.

Έστω λοιπόν, ας απαντηθούν τα υπόλοιπα ερωτήματα.

#22

Pla.pa.s έγραψε: -Να δειχθεί ότι υπάρχει συνάρτηση τέτοια ώστε $f^{3}(x)+f(x)=27x^{3}$ για κάθε $\displaystyle{x \in \mathbb R}$ .

Ένας τρόπος να δείξουμε την ύπαρξη της

είναι ο ακόλουθος.

Έστω $x\in \mathbb{R}$ (οποιοδήποτε αλλά σταθερό).

Η εξίσωση y^3+y=27x^3

έχει μοναδική πραγματική λύση ως προς

.

Συνεπώς ορίζουμε

f(x)=

το μοναδικό πραγματικό

ώστε

.

Εύκολα βλέπουμε ότι η

είναι καλώς ορισμένη.

Φιλικά,

Αχιλλέας

ΘΕΟΧΑΡΗΣ ΚΙΒΡΑΚΙΔΗΣ · #23

Μία λύση για το σύνολο τιμών της f.
Έστω οτι η έχει άνω φράγμα $f(x)\leq M (1) \Rightarrow f^3(x)\leq M^3 (2)$ Προσθέτοντας την 1 και 2 $f(x)+f^3(x)\leq M^3+M$ και λόγο της αρχικής σχεσης $27x^3\leq M^3+M\Rightarrow x^3<=(M^3+M)/27\Rightarrow x<=\sqrt[3]{M^3+M}/3$ 'Ατοπο δίοτι x E R, Ομοίως για το κατω φραγμα,άρα f(R)=R
Άλλη μια λυση για το σύνολο τιμών
y^3+y=27x^3

Θέτω

Το χ εδώ εκλαμβανετε ως σταθερά,η g είναι προφανώς γνησίως αύξουσα και έχει σύνολο τιμών το R δίοτι $\lim_{y->+00}=+00$ και $\lim_{y->-00}=-00$ άρα αφού το 0 ανήκει στο σύνολο τιμών της g ,Υπάρχει μοναδικό yο,τέτοιο ώστε $g(y0)=0\Rightarrow y0^3+y0=27x^3$ άρα το R
Φιλικά,Χάρης

#24

achilleas έγραψε:
Pla.pa.s έγραψε: -Να δειχθεί ότι υπάρχει συνάρτηση τέτοια ώστε $f^{3}(x)+f(x)=27x^{3}$ για κάθε $\displaystyle{x \in \mathbb R}$ .
Ένας τρόπος να δείξουμε την ύπαρξη της είναι ο ακόλουθος.

Έστω $x\in \mathbb{R}$ (οποιοδήποτε αλλά σταθερό).

Η εξίσωση έχει μοναδική πραγματική λύση ως προς .

Συνεπώς ορίζουμε

το μοναδικό πραγματικό ώστε .

Εύκολα βλέπουμε ότι η είναι καλώς ορισμένη.

Φιλικά,

Αχιλλέας

Καλημέρα Αχιλλέα!Ούτε σκάψιμο,ούτε δύσκολα πράγματα.Τελικά ήταν πολύ-πολύ απλό.Η τριτοβάθμια έχει πάντα λύση στους πραγματικούς και η συγκεκριμένη μοναδική.Ευχαριστούμε!

mathxl · #25

Για την ύπαρξη τέτοιας συνάρτησης είχαμε παλαιότερα δει και αυτό viewtopic.php?f=55&t=1021

Pla.pa.s · #26

Η λύση που είχα στο μυαλό μου είναι η ίδια με του χρήστη achilleas.
Γενικότερα με τον ίδιο τρόπο μπορούμε να δείξουμε ότι για οποιεσδήποτε γνησίως μονότονες και συνεχείς συναρτήσεις g,h

για τις οποίες ισχύει $g(\mathbb R)=h(\mathbb R)= \mathbb R$ , τότε υπάρχει συνάρτηση

τέτοια ώστε
g(f(x))=h(x)

για κάθε $x \in \mathbb R$
(Ίσως, χωρίς να είμαι σίγουρος, το $h(\mathbb R)=\mathbb R$ να είναι περιττό)

#27

Πρωτοπαπάς Λευτέρης έγραψε:
Ανακεφαλαιώνοντας εκρεμμεί το (δ) και θέλει διόρθωση το (ιγ).
Pla.pa.s έγραψε: Δεν βλέπω που είναι το λάθος στο (ιγ). Μπορείτε μήπως να δώσετε κάποια επεξήγηση;

Ζητώ συγγνώμη. Τυπογραφικό λάθος.

Το (ιδ) εννοούσα, το οποίο έχει ήδη διορθώσει ο Γιώργος.

#28

Αν και τα νέα ερωτήματα ξεφεύγουν από την ύλη του φακέλου, ξεκινώ τις απαντήσεις.

ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΟΤΗΤΑ ΤΗΣ

Ισχύουν οι σχέσεις:
f^3(x)+f(x)=27x^3

τις οποίες αφαιρώντας κατά μέλη έχουμε ότι:

$f^3(x)-f^3(x_0)+f(x)-f(x_0)=27x^3-27x_0^3 \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow (f(x)-f(x_0))(f^2(x)+f(x)f(x_0)+f^2(x_0))+f(x)-f(x_0)=27x^3-27x_0^3 \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow (f(x)-f(x_0))(f^2(x)+f(x)f(x_0)+f^2(x_0)+1)=27(x-x_0)(x^2+xx_0+x_0^2) \Leftrightarrow$

$\displaystyle{\Leftrightarrow f(x)-f(x_0)=(x-x_0)\frac{27(x^2+xx_0+x_0^2)}{f^2(x)+f(x)f(x_0)+f^2(x_0)+1}$

και για κάθε $x \neq x_0$ έχουμε:

$\displaystyle{\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\frac{27(x^2+xx_0+x_0^2)}{f^2(x)+f(x)f(x_0)+f^2(x_0)+1}}$ .

Παίρνοντας το όριο στο x_0

και αφού η

είναι συνεχής στο $\mathbb{R}$ , έχουμε:

$\displaystyle{\lim_{x \rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x \rightarrow x_0}\frac{27(x^2+xx_0+x_0^2)}{f^2(x)+f(x)f(x_0)+f^2(x_0)+1}}$

άρα

$\displaystyle{f'(x_0)=\frac{81x_0^2}{3f^2(x_0)+1}}$ ,

δηλαδή η

είναι παραγωγίσιμη σε κάθε $x_0 \in \mathbb{R}$ με παράγωγο που δίνεται παραπάνω.

b.nikos · #29

Eukleidis έγραψε:Για το α)
$\displaystyle{f\left( x \right)\left( {{f^2}\left( x \right) + 1} \right) = 27{x^3}}$
Θέτοντας όπου x το 0 παίρνουμε: $\displaystyle{f\left( 0 \right)\left( {{f^2}\left( 0 \right) + 1} \right) = 0 \Rightarrow f\left( 0 \right) = 0}$ αφού $\displaystyle{{{f^2}\left( 0 \right) + 1 > 0}}$

β) $\displaystyle{g\left( x \right) = \tfrac{{f\left( x \right)}}{x} = \tfrac{{\tfrac{{27{x^3}}}{{{f^2}\left( x \right) + 1}}}}{x} = \tfrac{{27{x^2}}}{{{f^2}\left( x \right) + 1}} > 0,\forall x \ne 0}$

ζ)Πεδίο ορισμού εχει το $\displaystyle{\mathbb{R}}$ .Επίσης $\displaystyle{{f^3}\left( { - x} \right) + f\left( { - x} \right) = - 27{x^3} = - {f^3}\left( x \right) - f\left( x \right) \Rightarrow {f^3}\left( { - x} \right) + {f^3}\left( x \right) = - f\left( { - x} \right) - f\left( x \right)}$ \displaystyle{\displaystyle{ \Rightarrow \left( {f\left( { - x} \right) + f\left( x \right)} \right)\left( {{f^2}\left( x \right) + f\left( { - x} \right)f\left( x \right) + {f^2}\left( { - x} \right)} \right) = - f\left( { - x} \right) - f\left( x \right) \Rightarrow }} $\displaystyle{\left( {f\left( { - x} \right) + f\left( x \right)} \right)\left( {{f^2}\left( x \right) + f\left( { - x} \right)f\left( x \right) + {f^2}\left( { - x} \right) + 1} \right) = 0}$ που σημαίνει πως $\displaystyle{{f\left( { - x} \right) = - f\left( x \right)}}$ αφού $\displaystyle{{{f^2}\left( x \right) + f\left( { - x} \right)f\left( x \right) + {f^2}\left( { - x} \right) + 1 > 0}}$ .

Άρα η f είναι περιττή.

θ) $\displaystyle{g\left( { - x} \right) = \tfrac{{f\left( { - x} \right)}}{{ - x}} = \tfrac{{ - f\left( x \right)}}{{ - x}} = \tfrac{{f\left( x \right)}}{x} = g\left( x \right)}$ . Συνεπώς η g είναι άρτια αφου το πεδίο ορισμού της $\displaystyle{D = \left( { - \infty ,0} \right) \cup \left( {0, + \infty } \right)}$ είναι συμμετρικό ως προς το 0.

στ) Έστω $\displaystyle{f\left( x \right) = f\left( y \right) \Rightarrow {f^3}\left( x \right) = {f^3}\left( y \right)}$ . Με πρόσθεση κατα μέλη παίρνουμε πως $\displaystyle{27{x^3} = 27{y^3} \Rightarrow x = y}$ . Άρα η f είναι 1-1.

Η g όπως δείξαμε είναι άρτια, οπότε αποκλείεται να είναι 1-1. Πχ. $\displaystyle{g\left( 5 \right) = g\left( { - 5} \right)}$

ε) Έστω $\displaystyle{x < y}$ . Τότε $\displaystyle{x < y \Rightarrow {x^3} < {y^3} \Rightarrow 27{x^3} < 27{y^3} \Rightarrow {f^3}\left( x \right) + f\left( x \right) < {f^3}\left( y \right) + f\left( y \right)}$ \displaystyle{\displaystyle{ \Rightarrow \left[ {f\left( x \right) - f\left( y \right)} \right]\left[ {{f^2}\left( x \right) + f\left( x \right)f\left( y \right) + {f^2}\left( y \right)} \right] + f\left( x \right) - f\left( y \right) < 0}} $\displaystyle{ \Rightarrow \left[ {f\left( x \right) - f\left( y \right)} \right]\left[ {{f^2}\left( x \right) + f\left( x \right)f\left( y \right) + {f^2}\left( y \right) + 1} \right] < 0 \Rightarrow f\left( x \right) < f\left( y \right)}$

Άρα η είναι γνησίως αύξουσα.