ερώτηση σε σειρα Taylor

giannisn1990 · #1

Θέλω να ρωτήσω το εξής :
Γνωρίζουμε ότι για |x|<1

ισχύει $\displaystyle \arctan x=\int_{0}^{x}\frac{dt}{1+t^{2}}=\int_{0}^{x}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}t^{2n}dt=\sum_{n=0}^{\infty}\int_{0}^{x}(-1)^{n}t^{2n}dt=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}$

ψάχνωντας όμως στην wikipedia είδα ότι ο τύπος αυτός ισχύει και για τις τιμές -1,1

Μπορεί κάποιος να μου πει πως προκύπτει αυτό ?

Ευχαριστώ

#2

giannisn1990 έγραψε:Θέλω να ρωτήσω το εξής :
Γνωρίζουμε ότι για ισχύει $\displaystyle \arctan x=\int_{0}^{x}\frac{dt}{1+t^{2}}=\int_{0}^{x}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}t^{2n}dt=\sum_{n=0}^{\infty}\int_{0}^{x}(-1)^{n}t^{2n}dt=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}$

ψάχνωντας όμως στην wikipedia είδα ότι ο τύπος αυτός ισχύει και για τις τιμές -1,1

Μπορεί κάποιος να μου πει πως προκύπτει αυτό ?

Ευχαριστώ

Γεια σου Γιάννη! Η απόδειξη για αυτό υπάρχει στο βιβλίο απειροστικός λογισμός τόμος ΙΙβ των Νεγρεπόντη-Γιωτόπουλου-Γιαννακούλια στη σελίδα 497. Αν το βιβλίο δεν το έχεις θα κοιτάξω να τη γράψω όσο πιο αναλυτικά μπορώ.

#3

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:Αν το βιβλίο δεν το έχεις θα κοιτάξω να τη γράψω όσο πιο αναλυτικά μπορώ.

Ένιγουέι:
Με $T_{n,f,x_{0}}$ και $R_{n,f,x_{0}}(=f(x)-T_{n,f,x_{0}})$ συμβολίζουμε αντίστοιχα το πολυώνυμο Taylor τάξης n της f στο $x_{0}$ και το υπόλοιπο Taylor τάξης n της f στο $x_{0}$ .
Επίσης θεωρούμε γνωστό το θεώρημα :
Έστω $a<b,\,\,\,n\geq1,\,\,\,f:[a,b]\to\mathbb{R},\,\,\,x_{0}\in[a,b]$ ώστε οι παράγωγοι μέχρι και n-1 τάξης υπάρχουν στο [a,b] και n τάξης στο $x_{0}$ .
Τότε το $T_{n,f,x_{0}}$ είναι το μοναδικό πολυώνυμο Τ δυνάμεων του $x-x_{0}$ τάξης το πολύ n ώστε
$\displaystyle\lim_{x\to x_{0}}\frac{f(x)-T(x)}{(x-x_{0})^{n}}=0$ .

Με ολοκλήρωση στην $\frac{1}{1+t^{2}}=1-t^{2}+t^{4}-\ldots(-1)^{n}t^{2n}+(-1)^{n+1}\frac{t^{2n+2}}{1+t^{2}}$ έχουμε $\arctan x=\displaystyle\int_{0}^{x}\frac{1}{1+t^{2}}dt=x-\frac{x^{3}}{3}+\ldots+(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}+(-1)^{n+1}\int_{0}^{x}\frac{t^{2n+2}}{1+t^{2}}\,dt$ .
Όμως $\displaystyle\frac{|(-1)^{n+1}\int_{0}^{x}\frac{t^{2n+2}}{1+t^{2}}\,dt|}{|x|^{2n+1}}\leq\frac{\int_{0}^{|x|}t^{2n+2}\,dt}{|x|^{2n+1}}=\frac{|x|^{2}}{2n+3}\stackrel{x\to 0}{\longrightarrow} 0$ , άρα από το παραπάνω θεώρημα $T_{2n+1}(x)(=T_{2n+2}(x))=x-\frac{x^{3}}{3}+\ldots+(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}$ και συνεπώς $R_{2n+1}(x)(=R_{2n+2}(x))=(-1)^{n+1}\int_{0}^{x}\frac{t^{2n+2}}{1+t^{2}}\,dt$ .
Έχουμε $R_{2n+1}(-x)=R_{2n+1}(x)$ και για $0\leq x\leq1$ είναι $\displaystyle|R_{2n+1}(x)|=\int_{0}^{x}\frac{t^{2n+2}}{1+t^{2}}\,dt\leq\int_{0}^{x}t^{2n+2}\,dt=\frac{x^{2n+3}}{2n+3}\leq\frac{1}{2n+3}$ .
Έπεται ότι είναι $\displaystyle\lim_{n\to \infty}R_{n}(x)=0$ για $-1\leq x\leq 1$ και συνεπώς
$\arctan x=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^{n}}{2n+1}x^{2n+1}$ για $-1\leq x\leq 1$ .

giannisn1990 · #4

Τάσο σε ευχαριστώ πολύ για την τόσο όμορφη απόδειξη !

#5

Ουσιαστικά ο Αναστάσης υπολόγισε το σφάλμα, έδειξε πως τείνει στο 0, και τελείωσε. Θα δώσω μια διαφορετική προσέγγιση.

Ας υποθέσουμε πως κάποιος μας λέει ότι για κάθε $x \in (-1,1)$ ισχύει ότι $\displaystyle \arctan(x) = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1}$ .

Γνωρίζουμε ότι το $\arctan(x)$ είναι συνεχής συνάρτηση στα -1 και 1. Γνωρίζουμε επίσης ότι η $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1}$ συγκλίνει στα -1 και 1 (από D'Alembert). Αν μπορούσαμε λοιπόν να δείξουμε ότι και η σειρά είναι συνεχής στα -1 και 1 (από δεξιά και αριστερά αντίστοιχα) τότε θα τελειώναμε.

Είναι λοιπόν η f συνεχής σε αυτά τα σημεία; Το θεώρημα συγκλισεως του Abel, μας λέει πως είναι.

#6

Demetres έγραψε:Ουσιαστικά ο Αναστάσης υπολόγισε το σφάλμα, έδειξε πως τείνει στο 0, και τελείωσε. Θα δώσω μια διαφορετική προσέγγιση.

Ας υποθέσουμε πως κάποιος μας λέει ότι για κάθε $x \in (-1,1)$ ισχύει ότι $\displaystyle \arctan(x) = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1}$ .

Γνωρίζουμε ότι το $\arctan(x)$ είναι συνεχής συνάρτηση στα -1 και 1. Γνωρίζουμε επίσης ότι η $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1}$ συγκλίνει στα -1 και 1 (από D'Alembert). Αν μπορούσαμε λοιπόν να δείξουμε ότι και η σειρά είναι συνεχής στα -1 και 1 (από δεξιά και αριστερά αντίστοιχα) τότε θα τελειώναμε.

Είναι λοιπόν η f συνεχής σε αυτά τα σημεία; Το θεώρημα συγκλισεως του Abel, μας λέει πως είναι.

Πολύ καλό!

ερώτηση σε σειρα Taylor

ερώτηση σε σειρα Taylor

Re: ερώτηση σε σειρα Taylor

Re: ερώτηση σε σειρα Taylor

Re: ερώτηση σε σειρα Taylor

Re: ερώτηση σε σειρα Taylor

Re: ερώτηση σε σειρα Taylor

Μέλη σε σύνδεση