Μισεμβαδικό

KARKAR · #1

Τριγώνου $\displaystyle ABC$ , εγγεγραμμένου σε κύκλο , η διχοτόμος

(ξανα)τέμνει τον κύκλο στο

.

1) Δείξτε ότι $AD{\cdot}AE = AB{\cdot}AC$

2) Αν $DZ\perp AC$ , δείξτε ότι : $\displaystyle (AZE)=\frac{1}{2}(ABC)$

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #2

Το πρώτο σκέλος προκύπτει εύκολα αν λάβουμε υπ' όψιν το γεγονός της ομοιότητας των τριγώνων ΑΕΒ,ΑCD.
Τα τρίγωνα αυτά είναι όμοια γιατί έχουν δύο γωνίες ίσες μία προς μία(γωνΒΑΕ=γωνDAC ως μισές της γωνίας Α
και γωνΑΕΒ=γωνACD ως εγγεγραμμένες στον (Ο,R) βαίνουν στο τόξο ΑΒ).

S.E.Louridas · #3

Και μία άποψη γιά το δεύτερο σκέλος (Ανεξαρτητα από το πρώτο).

Εστω Ρ σημείο της AC ώστε:

$EP \bot AC,\;\tau \dot o\tau \varepsilon \;\iota \sigma \chi \dot \upsilon \varepsilon \iota \;\dot o\tau \iota :\left\{ {\begin{array}{*{20}c} {1)\;\left( {DEZ} \right) = \left( {DPZ} \right) \Rightarrow \left( {AEZ} \right) = \left( {ADP} \right)} \\ {2)\;AP = \frac{1} {2}\left( {AB + AC} \right) \Rightarrow AP \cdot DZ = \frac{1} {2}DZ \cdot \left( {AB + AC} \right).} \\ \end{array} } \right.$

Άρα παίρνουμε ότι:

$\frac{1} {2}AP \cdot DZ = \frac{1} {2}\left( {\frac{1} {2}DZ \cdot AB + \frac{1} {2}DF \cdot AB} \right) \Rightarrow \left( {AEZ} \right) = \frac{1} {2}\left( {ABC} \right),\alpha \nu \,F \in AB\;\kappa \alpha \dot \iota \;DF \bot AB.$

S.E.Louridas

#4

Κάτι ακόμα για το δεύτερο ερώτημα (με δέσιμο απο το πρώτο)

2) Είναι $\displaystyle{ \left( {ABC} \right) = \frac{1} {2}\left( {AB} \right) \cdot \left( {AC} \right) \cdot \eta \mu A\mathop \Rightarrow \limits^{\left( {AB} \right) \cdot \left( {AC} \right) = \left( {AD} \right) \cdot \left( {AE} \right),\hat A = 2\omega } = \frac{1} {2}\left( {AD} \right) \cdot \left( {AE} \right) \cdot \eta \mu 2\omega = }$

$\displaystyle{ \frac{1} {2}\left( {AD} \right) \cdot \left( {AE} \right) \cdot 2\eta \mu \omega \sigma \upsilon \nu \omega \mathop \Rightarrow \limits^{\vartriangle AZD \to \left( {AD} \right) \cdot \sigma \upsilon \nu \omega = \left( {AZ} \right)} \left( {ABC} \right) = 2 \cdot \frac{1} {2}\left( {AE} \right)\left( {AZ} \right)\eta \mu \omega \mathop \Rightarrow \limits^{\left( {AEZ} \right) = \frac{1} {2}\left( {AE} \right)\left( {AZ} \right)\eta \mu \omega } \boxed{\left( {ABC} \right) = 2\left( {AEZ} \right)} }$

Στάθης

Μισεμβαδικό

Μισεμβαδικό

Re: Μισεμβαδικό

Re: Μισεμβαδικό

Re: Μισεμβαδικό

Μέλη σε σύνδεση