Απορίες για το πεδίο ορισμού

Ardid · #1

Όταν λέμε ότι μια συνάρτηση είναι ορισμένη σε ένα σύνολο Β, εννοούμε ότι το Β είναι υποσύνολο του πεδίου ορισμού της A. Έστω τώρα ότι μια άσκηση δίνει:
f(x)=x+2, x>2

Αυτό τι σημαίνει; Ότι το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι το Α=(2, +∞); Ή ότι η

είναι ορισμένη στο διάστημα (2, + ∞) το οποίο είναι υποσύνολο του πεδίου ορισμού της; Επιπλέον, έστω ότι έχουμε τη συνάρτηση $g(x)=x, x\neq 0$ . Αυτό σημαίνει ότι στον τύπο g(x)=x,

μπορούμε να βάλουμε όλα τα $x\neq 0$ ή κάποια

τα οποία είναι διάφορα του μηδενός;
Ευχαριστώ εκ των προτέρων

#2

Αν σου δίνει η άσκηση π.χ f(x)=x+4 , x>0

τότε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι το $\left(0,+\propto \right)$ .
Αν δεν σου δίνει η εκφώνιση το πεδίο ορισμού, τότε παίρνεις το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R .
Στο πιο πάνω παράδειγμα, αν δεν σου έδινε τον περιορισμό x>0, θα έπαιρνες ως πεδίο ορισμού το R.

Ardid · #3

Αν εγώ γράψω: Θέτω h(x)=2x+5, x>2

, με αυτό εννοώ ότι το πεδίο ορισμού της h είναι το σύνολο (2, +∞) ;

#4

Ναι

Ardid · #5

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:Αν σου δίνει η άσκηση π.χ τότε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι το $\left(0,+\propto \right)$ .
Αν δεν σου δίνει η εκφώνιση το πεδίο ορισμού, τότε παίρνεις το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R .
Στο πιο πάνω παράδειγμα, αν δεν σου έδινε τον περιορισμό x>0, θα έπαιρνες ως πεδίο ορισμού το R.

Δεν υπάρχει περίπτωση η

να αποτελείται από δύο κλάδους, ένας για x>0

και ένας για $x\leq 0$ ;

#6

Θα έπρεπε να μας το έδινε αν το θεωρούσε κάπως αλλιώς.
Γενικά, σε μια συνάρτηση πρέπει να μας δίνουν και το πεδίο ορισμού της. Αν δεν μας το δίνουν τότε συμφωνούμε να παίρνουμε ως πεδίο ορισμού το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο Α του R ώστε η συνάρτηση να ορίζεται για κάθε χ που ανήκει στο Α

Παράδειγμα, αν μας δίνουν $f(x)=\frac{x+1}{x-2},x\in (3,5]$ τότε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι το
A=(3,5]

και όχι το $A=R-\left\{2 \right\}$ .

parmenides51 · #7

Όταν μια συνάρτηση έχει ένα διάστημα δίπλα στο τύπο της, τότε αυτό θα είναι το πεδίο ορισμού της,
εκτός κι αναφέρεται κάτι διαφορετικό κάπου αλλού στην εκφώνηση.
πχ.
Αν έχω $f:\left(0,7 \right)\rightarrow R$ με $f\left(x \right)=x+2011 ,x\in \left(0,5 \right)$ τότε πεδίο ορισμού της f είναι το $\left(0,7 \right)$ και γνωρίζουμε τον τύπο της f μόνο στο $\left(0,5 \right)$ .
Δεν έχουμε κάποια άλλα δεδομένα για τον τύπο της στο διάστημα [5,7)

, αλλά ξέρουμε ότι ορίζεται (με απλά λόγια υπάρχει συνάρτηση και εκεί).

edit: 'Αλλαξα το άσκηση σε εκφώνηση

Ardid · #8

Και κάτι ακόμη. Στέκει να γράψω: Θέτω f(x)=g(x)+2

κοντά στο -2 και με αυτό να εννοώ ότι το πεδίο ορισμού της f είναι ένα σύνολο της μορφής (a, -2)U(-2, b)

;

#9

Ardid έγραψε:Και κάτι ακόμη. Στέκει να γράψω: Θέτω κοντά στο -2 και με αυτό να εννοώ ότι το πεδίο ορισμού της f είναι ένα σύνολο της μορφής ;

Αν αυτό σου ήταν χρήσιμο σε κάποια απόδειξη μιας άσκησης, νομίζω ότι μπορείς να το θεωρήσεις. Όμως δεν σημαίνει ότι επειδή θα σου ισχύει το συμπέρασμα για αυτό το δίάστημα που θεώρησες, θα έχεις τελειώσει την απόδειξη.

Ardid · #10

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:
Ardid έγραψε:Και κάτι ακόμη. Στέκει να γράψω: Θέτω κοντά στο -2 και με αυτό να εννοώ ότι το πεδίο ορισμού της f είναι ένα σύνολο της μορφής ;

Αν αυτό σου ήταν χρήσιμο σε κάποια απόδειξη μιας άσκησης, νομίζω ότι μπορείς να το θεωρήσεις. Όμως δεν σημαίνει ότι επειδή θα σου ισχύει το συμπέρασμα για αυτό το δίάστημα που θεώρησες, θα έχεις τελειώσει την απόδειξη.

Αναφέρομαι σε ασκήσεις σε όρια, στις οποίες θέλουμε να δουλεύουμε μόνο κοντά σε έναν αριθμό. Σε αυτή την περίπτωση γιατί να επεκταθούμε πέρα από αυτό τον αριθμό; Για αυτό και η ερώτησή μου αν στέκει το "κοντά στο 1, κοντά στο 2 κλπ"

parmenides51 · #11

καλύτερα θα ήταν να αναφέρεις ένα σχετικό παράδειγμα για να ξεκαθαρίσουμε ακριβώς τι ρωτάς
φιλικά

parmenides51 · #12

Αν αναφέρεσαι σε ασκήσεις με γνωστό αποτέλεσμα ενός ορίου και αναζήτηση ορίου συνάρτησης μέσα στο όριο (του στύλ: θέτω- λύνω -παίρνω όρια) δεν χρειάζεται να αναφερθείς σε κάποιο διάστημα.
πχ. Αν $\dipslaystyle{ \lim_{x \rightarrow 2}\left( f(x)+2x\right)=3}$ να βρεθεί το $\dipslaystyle{\lim_{x \rightarrow 2} f(x)}$

#13

Ardid έγραψε:
ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:
Ardid έγραψε:Και κάτι ακόμη. Στέκει να γράψω: Θέτω κοντά στο -2 και με αυτό να εννοώ ότι το πεδίο ορισμού της f είναι ένα σύνολο της μορφής ;

Αν αυτό σου ήταν χρήσιμο σε κάποια απόδειξη μιας άσκησης, νομίζω ότι μπορείς να το θεωρήσεις. Όμως δεν σημαίνει ότι επειδή θα σου ισχύει το συμπέρασμα για αυτό το δίάστημα που θεώρησες, θα έχεις τελειώσει την απόδειξη.
Αναφέρομαι σε ασκήσεις σε όρια, στις οποίες θέλουμε να δουλεύουμε μόνο κοντά σε έναν αριθμό. Σε αυτή την περίπτωση γιατί να επεκταθούμε πέρα από αυτό τον αριθμό; Για αυτό και η ερώτησή μου αν στέκει το "κοντά στο 1, κοντά στο 2 κλπ"

Όταν πρόκειται για όρια, τότε βέβαια και θα περιοριστούμε σε όποια περιοχή του σημείου θέλουμε, οσοδήποτε κοντά σε αυτό.

Ardid · #14

Αν δίνεται ότι $\lim_{x\rightarrow 0}(f(x) + 5x + 10)=10$ , να βρείτε το $\lim_{x\rightarrow 0}f(x)$ .
1η παρατήρηση: Δε γνωρίζουμε τίποτα για το πεδίο ορισμού της f. To μόνο που ξέρουμε είναι ότι είναι ορισμένη σε μια περιοχή του 0.
2η παρατήρηση: Θα χρειαστεί να θέσουμε g(x)=f(x) + 5x + 10

. Σε αυτή τη συνάρτηση τι πεδίο ορισμού θα δώσουμε αφού δεν ξέρουμε το πεδίο ορισμού της f; Για αυτό ρωτάω αν είναι σωστό να πω: θέτω g(x)=f(x) + 5x + 10

κοντά στο 0 ,αφού εκεί θέλω να δουλέψω και να εννοώ ότι το πεδίο ορισμού είναι ένα σύνολο U(0, a)

3η παρατήρηση: Μερικά βοηθήματα όπως και το λυσάρι του σχολικού βιβλίου θέτουν g(x)=f(x) + 5x + 10

και δεν προσδιορίζουν καθόλου που ανήκουν το x. Όταν θέτουμε όμως μια συνάρτηση, δεν είμαστε υποχρεωμένοι να προσδιορίσουμε το πεδίο ορισμού της; Άλλα πάλι την ορίζουν τη g στο R. Αυτό όμως δεν είναι περιττό και λάθος κιόλας αφού η f μπορεί να μην έχει πεδίο ορισμού το R ;

parmenides51 · #15

Θέτεις χωρίς να αναφερθείς στο πεδίο ορισμού καν γιατί ενδέχεται η συνάρτηση να ορίζεται μόνο στο σημείο που δίνεται το όριο.
Δεν μπορείς να ξέρεις που ορίζεται, οπότε δεν αναφέρεις τίποτα σχετικό.
Σε ασκήσεις ορίων σαν την παραπάνω δεν χρειάζεται να αναφερθείς στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης που θέτεις.

Ardid · #16

Αν ορίζεται όμως μόνο στο 0,δηλάδή το πεδίο ορισμού της είμαι μονοσύνολο, τότε δεν μπορεί να υπάρχει το $\lim_{x\rightarrow 0}(f(x) + 5x + 10)=10$ . Όπως επίσης δεν θα υπάρχει το $\lim_{x\rightarrow 0}f(x)$ . Άρα η f θα ορίζεται τουλάχιστον σε μια "γειτονιά" του 0, δηλαδή θα όρίζεται κοντά στο 0. Δε ξέρω αν σκέφτομαι με λάθος τρόπο

#17

Ardid έγραψε:Αν ορίζεται όμως μόνο στο 0,δηλάδή το πεδίο ορισμού της είμαι μονοσύνολο, τότε δεν μπορεί να υπάρχει το $\lim_{x\rightarrow 0}(f(x) + 5x + 10)=10$ . Όπως επίσης δεν θα υπάρχει το $\lim_{x\rightarrow 0}f(x)$ . Άρα η f θα ορίζεται τουλάχιστον σε μια "γειτονιά" του 0, δηλαδή θα όρίζεται κοντά στο 0. Δε ξέρω αν σκέφτομαι με λάθος τρόπο

΄

Δεν σκέφτεσαι με λάθος τρόπο και πολύ καλά κάννεις να ψάχνεις λεπτομέρειες που άπτονται της θεωρίας.

parmenides51 · #18

Ναι σωστά, δεν μπορεί να ορίζεται μόνο στο σημείο που δίνεται το όριο γιατί χρειαζόμαστε μια περιοχή του σημείου για να πάρουμε όριο. Βιάστηκα.

Ardid · #19

parmenides51 έγραψε: Σε ασκήσεις ορίων σαν την παραπάνω δεν χρειάζεται να αναφερθείς στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης που θέτεις.

Γενικά όμως σε άλλες ασκήσεις όταν θέτω μια νέα συνάρτηση θα είμαι οπωσδήποτε υποχρεωμένος να προσδιορίσω το πεδίο ορισμού;

parmenides51 · #20

Γενικά χρειάζεται να αναφέρεις το πεδίο ορισμού, στην παρούσα όχι.
Πχ. υπάρχουν ασκήσεις στην μονοτονία συναρτήσεων με παραγώγους που θέτεις συναρτήσεις (που βρίσκεις στην παράγωγο) κι έχουν διαφορετικό πεδίο ορισμού από το αντίστοιχο των αρχικών συναρτήσεων και είναι απαραίτητο να αναφερθεί αυτό.

Απορίες για το πεδίο ορισμού

Απορίες για το πεδίο ορισμού

Re: Απορίες για το πεδίο ορισμού

Re: Απορίες για το πεδίο ορισμού

Re: Απορίες για το πεδίο ορισμού

Re: Απορίες για το πεδίο ορισμού

Re: Απορίες για το πεδίο ορισμού

Re: Απορίες για το πεδίο ορισμού

Re: Απορίες για το πεδίο ορισμού

Re: Απορίες για το πεδίο ορισμού

Re: Απορίες για το πεδίο ορισμού

Re: Απορίες για το πεδίο ορισμού

Re: Απορίες για το πεδίο ορισμού

Re: Απορίες για το πεδίο ορισμού

Re: Απορίες για το πεδίο ορισμού

Re: Απορίες για το πεδίο ορισμού

Re: Απορίες για το πεδίο ορισμού

Re: Απορίες για το πεδίο ορισμού

Re: Απορίες για το πεδίο ορισμού

Re: Απορίες για το πεδίο ορισμού

Re: Απορίες για το πεδίο ορισμού

Μέλη σε σύνδεση