Μέγιστο εμβαδό

Γιώργος Απόκης · #1

Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ABC

πλευράς

. Θεωρούμε τα σημεία H,Z

στις πλευρές AB,AC

αντίστοιχα

ώστε HZ//BC

. Αν

οι ορθές προβολές των H,Z

αντίστοιχα στην

, να βρεθεί η μέγιστη τιμή του (DEZH)

.

KARKAR · #2

Φέρω το ύψος

. Ονομάζω

το

. Είναι $\displaystyle BD=\frac{x\sqrt{3}}{3} , DM=\frac{a}{2}-\frac{x\sqrt{3}}{3}$ και $\displaystyle (DEZH)=2(\frac{a}{2}-\frac{x\sqrt{3}}{3})x$ .

Συνεπώς $\displaystyle (DEZH)=-\frac{2\sqrt{3}}{3}x^{2}+ax$ , το οποίο γίνεται μέγιστο για $\displaystyle x=\frac{a}{\frac{4\sqrt{3}}{3}}=\frac{a\sqrt{3}}{4}$

και η μέγιστη αυτή τιμή είναι : $\displaystyle E_{max}=\frac{\sqrt{3}}{8}a^{2}$

Σημείωση : Αυτό είναι ακριβώς το μισό του εμβαδού του τριγώνου

S.E.Louridas · #3

Μετά την άρτια λύση του Θανάση, απλά θεωρώ ότι το πρόβλημα θά είχε νόημα και γιά τυχόν τρίγωνο ΑΒC, που οι γωνίες του Β, C ΔΕΝ είναι αμβλείες.

Με κάθε επιφύλαξη,

S.E.Louridas

Γιώργος Απόκης · #4

Καλημέρα. Ας το πάμε με το... μαλακό! Ας ασχοληθούμε πρώτα με αντίστοιχη πρόταση για ισοσκελές τρίγωνο:

Δίνεται τρίγωνο ABC

με

. Θεωρούμε το ορθογώνιο KLMN

με τα

επί της

και τα

στις

αντίστοιχα. Να βρεθεί το μέγιστο εμβαδό του ορθογωνίου.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
Αν

το ύψος, από το Π.Θ. στο τρίγωνο ABD

, έχουμε $\displaystyle{AD=\sqrt{b^2-\frac{a^2}{4}}={\frac{\sqrt{4b^2-a^2}}{2}}$ (1)

Από την ομοιότητα των τριγώνων ABD,BKN

έχουμε $\displaystyle{\frac{AD}{KN}=\frac{BD}{KB}\Leftrightarrow \frac{AD}{y}=\frac{\frac{a}{2}}{\frac{a-x}{2}}\overset{(1)}\Leftrightarrow y=\frac{\sqrt{4b^2-a^2}}{2a}(a-x)}$ (2)

Έχουμε $\displaystyle{(KLMN)=x\cdot y\overset{(2)}=\frac{\sqrt{4b^2-a^2}}{2a}(ax-x^2)}$ , που γίνεται μέγιστο για $\displaystyle{x=\frac{a}{2}}$ και η μέγιστη τιμή είναι $\displaystyle{E_{max}=\frac{a\sqrt{4b^2-a^2}}{8}}$ .

#5

S.E.Louridas έγραψε:Μετά την άρτια λύση του Θανάση, απλά θεωρώ ότι το πρόβλημα θά είχε νόημα και γιά τυχόν τρίγωνο ΑΒC, που οι γωνίες του Β, C ΔΕΝ είναι αμβλείες.

Με κάθε επιφύλαξη,

S.E.Louridas

Αν

και

τα ύψη των BHZ, CZQ,ABC,

τότε (εύκολο)

m+n=h_a

και

(σχήμα)

και οι δυάδες ( k,p)

και

έχουν ίδια διάταξη. Έχουμε

(HZED)=(ABC) - (HBZ)-(HDA)-(ZEC)

Αλλά

, επομένως:

(HZED)=(ABC) - (HBZ)-(QZC)

Αρκεί να γίνει ελάχιστο το άθροισμα (HBZ)+(QZC)

$(HBZ)+(QZC)=\frac{km+pn}{2}\geq \frac{k+p}{2}\frac{m+n}{2}=\frac{b}{2}\frac{h_a}{2}=\frac{(ABC)}{2}$

με την ισότητα για k=p, m=n

, άρα $(HZED)\leq \frac{(ABC)}{2}$ κ.λπ.

S.E.Louridas · #6

Όταν έβαλα το ερώτημα είχα φανταστεί την εξής γενικώτερη διαπραγμάτευση:

$AH = \frac{{\sin C}} {{\sin A}}HZ\;\left( {{\rm N}.\,\eta \mu \iota \tau \dot o\nu \omega \nu } \right)\;\kappa \alpha \iota \;HB = \frac{1} {{\sin B}}HD.$

Όμως έχουμε (ΑΗ)+(ΗΒ)=c.

Επομένως το γινόμενο (AH)(HB), άρα και το (HZ)(HD) γίνεται μέγιστο (αφού τα ημίτονα των σταθερών γωνιών είναι σταθερές) όταν το Η γίνει μέσο της ΑΒ.

Με κάθε επιφύλαξη,

S.E.Louridas

p_gianno · #7

Έστω

ένα ορθογώνιο εγγεγραμμένο στο τργ $AB\Gamma$ . Όταν το

και

ταυτιστούν με τα μέσα M ,N

των αντίστοιχων πλευρών τότε το προκύπτον ορθογώνιο MM'N'N

εχει εμβαδόν $\frac{(AB\Gamma)}{2}$ αφού $(MM'NN')= MN \cdot M'M'=\frac{1}{2} MN \cdot \upsilon_ A_B_\Gamma =\frac{1}{4} B\Gamma . \upsilon_ A_B_\Gamma =\frac{(AB\Gamma)}{2}$ Θα δείξουμε ότι αυτό είναι το μέγιστο εμβαδόν για τις διάφορες θέσεις της

σε σχέση με την

: max1.png (5.92 KiB) Προβλήθηκε 462 φορές

Θεωρώ το ορθογώνιο HZED με HZ κάτω από την MN .(Σχήμα max2)όπου πάνω από το υπό διαπραγμάτευση (κίτρινο) ορθογώνιο έχουμε προσαρτήσει άλλο ένα ίσο (μπλε)
Επειδή τα εμβαδά 1 και 2 καθως και τα 3 και 4 είναι ίσα μεταξύ τους έχουμε ότι (PDEQ)

υπολείπεται του $(AB\Gamma)$ κατά το εμβαδόν (5). Είναι δηλαδή $(HDEZ)< \frac{(AB\Gamma)}{2}$

: max2.png (6.11 KiB) Προβλήθηκε 462 φορές

Αν θεωρήσουμε τώρα την

πάνω από την

τότε με βάση το σχήμα έχουμε
$(AB\Gamma)=(AHDEZ)+(HBD)+(ZE\Gamma)=(AHDEZ)+(KHP)+(ZIQ)=(AHDEZ)+(KHP)+(ZAKQ)+(AIK)=(PDEQ)+(AIK)>(PDEQ) \rightarrow \frac{(PDEQ)}{2}< \frac{(AB\Gamma)}{2} \rightarrow (HDEZ)<\frac{(AB\Gamma)}{2}$

: max3.png (6.36 KiB) Προβλήθηκε 462 φορές

οεδ

Μέγιστο εμβαδό

Μέγιστο εμβαδό

Re: Μέγιστο εμβαδό

Re: Μέγιστο εμβαδό

Re: Μέγιστο εμβαδό

Re: Μέγιστο εμβαδό

Re: Μέγιστο εμβαδό

Re: Μέγιστο εμβαδό

Μέλη σε σύνδεση