Σταθερή συνάρτηση

#1

Άσκηση προτεινόμενη από τον Νίκο Ζανταρίδη(nikoszan)

H συνάρτηση $\displaystyle{ f:R \to R }$ είναι συνεχής και περιοδική με περίοδο $\displaystyle{ T = 1 }$ και ισχύει:
$\displaystyle{ f(x + \frac{1}{n}) + f(x + \frac{2}{n}) + ... + f(x + \frac{{n - 1}}{n}) = (n - 1)f(x),\forall x \in R,\forall n \in N^ * }$
Να δείξετε ότι η $\displaystyle{ f }$ είναι σταθερή.

#2

chris_gatos έγραψε: H συνάρτηση $\displaystyle{ f:R \to R }$ είναι συνεχής και περιοδική με περίοδο $\displaystyle{ T = 1 }$ και ισχύει:
$\displaystyle{ f(x + \frac{1}{n}) + f(x + \frac{2}{n}) + ... + f(x + \frac{{n - 1}}{n}) = (n - 1)f(x),\forall x \in R,\forall n \in N^ * }$
Να δείξετε ότι η $\displaystyle{ f }$ είναι σταθερή.

Από την συνθήκη

$\displaystyle{ f( x+\frac{1}{n}) + f(x+ \frac{2}{n}) + ... + f( x+\frac{{n - 1}}{n}) = (n - 1)f(x)$

και για x+1/n

στη θέση του

έχουμε

$f( x+\frac{2}{n}) + f( x+\frac{3}{n}) + ... + f(x+ \frac{{n - 1}}{n}) + f(x+1) = (n-1)f(x+\frac {1}{n})$ .

Αφαιρώντας κατά μέλη και με χρήση της f(x+1) = f(x)

βρίσκουμε $nf(x) = nf(x+ \frac{1}{n})$ άρα $f(x) = f(x+ \frac{1}{n})$ . Επαγωγικά $f(x) = f( x \pm\frac{ k}{n})$ και ειδικά $f(0) = f( \pm\frac{ k}{n})$ . Δηλαδή, τελικά, για κάθε ρητό

είναι

. Από πυκνότητα των ρητών και την συνέχεια της

είναι

για κάθε πραγματικό

, όπως θέλαμε.

Φιλικά,

Μιχάλης

#3

Μια ακόμη ιδέα. Είναι:
$f\left( x+1\right) =f\left( x\right)\,\,\,\,\,\left( 1\right)$
Προσθέτουμε στην αρχική σχέση το f(x)

και διαιρούμε δια

:
$\frac{1}{n}\left( f\left( x\right) +f\left( x+\frac{1}{n}\right) +...+f\left( x+\frac{n-1}{n}\right) \right) =f\left( x\right) \,\,\,\,\,\ \left( 2\right)$
H

είναι συνεχής και επομένως αν πάρουμε όρια για $n\rightarrow +\infty$ θα έχουμε:
$\int_{x}^{x+1}f\left( t\right) dt=f\left( x\right) \,\,\,\,\,\ \left( 3\right)$
που γράφεται και:
$\int_{a}^{x+1}f\left( t\right) dt-\int_{a}^{x}f\left( t\right) dt=f\left( x\right)\,\,\,\,\,\ \left( 4\right)$
από την οποία προκύπτει ότι η

είναι παραγωγίσιμη με
$f\left( x+1\right) -f\left( x\right) =f^{\prime }\left( x\right) \,\,\,\,\,\ \left( 5\right)$
που λόγω της (1)

δινει ότι η παράγωγος της

είναι μηδέν άρα η

είναι σταθερή.
Μαυρογιάννης

solars · #4

nsmavrogiannis έγραψε:Μια ακόμη ιδέα: Βρίσκουμε (λ.χ. όπως έκανε προηγουμένως ο Μιχάλης) ότι
$f\left( x+1\right) =f\left( x\right)\,\,\,\,\,\left( 1\right)$
Προσθέτουμε στην αρχική σχέση το και διαιρούμε δια :
$\frac{1}{n}\left( f\left( x\right) +f\left( x+\frac{1}{n}\right) +...+f\left( x+\frac{n-1}{n}\right) \right) =f\left( x\right) \,\,\,\,\,\ \left( 2\right)$
H είναι συνεχής και επομένως αν πάρουμε όρια για $n\rightarrow +\infty$ θα έχουμε:
$\int_{x}^{x+1}f\left( t\right) dt=f\left( x\right) \,\,\,\,\,\ \left( 3\right)$
που γράφεται και:
$\int_{a}^{x+1}f\left( t\right) dt-\int_{a}^{x}f\left( t\right) dt=f\left( x\right)\,\,\,\,\,\ \left( 4\right)$
από την οποία προκύπτει ότι η είναι παραγωγίσιμη με
$f\left( x+1\right) -f\left( x\right) =f^{\prime }\left( x\right) \,\,\,\,\,\ \left( 5\right)$
που λόγω της δινει ότι η παράγωγος της είναι μηδέν άρα η είναι σταθερή.
Μαυρογιάννης

Στην σχέση (4) δεν μπορώ να δω απο που προκύπτει η παραγωγισημότητα της f. Δεν είναι όλες οι ολοκληρώσιμες και παραγωγισιμες.

#5

solars έγραψε:Στην σχέση (4) δεν μπορώ να δω απο που προκύπτει η παραγωγισημότητα της f. Δεν είναι όλες οι ολοκληρώσιμες και παραγωγισιμες.

Χρησιμοποιούμε το θεώρημα της σελίδας 334 του σχολικού βιβλίου Μαθηματικών Κατεύθυνσης της Γ΄Λυκείου.
Οι παραγωγίσιμες είναι συνεχείς που με την σειρά τους είναι ολοκληρώσιμες. Μια ολοκληρώσιμη μπορεί να μην είναι συνεχής και μία συνεχής μπορεί να μην είναι παραγωγίσιμη.
Μαυρογιάννης

#6

solars έγραψε:
nsmavrogiannis έγραψε:<...>

$\int_{a}^{x+1}f\left( t\right) dt-\int_{a}^{x}f\left( t\right) dt=f\left( x\right)\,\,\,\,\,\ \left( 4\right)$
από την οποία προκύπτει ότι η είναι παραγωγίσιμη
Στην σχέση (4) δεν μπορώ να δω απο που προκύπτει η παραγωγισημότητα της f. Δεν είναι όλες οι ολοκληρώσιμες και παραγωγισιμες.

Αφού το αριστερό μέλος της (4) είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση (για τους λόγους που κατέγραψε ο Νίκος), έπεται ότι και το ίσο του δεξί μέλος είναι επίσης παραγωγίσιμη.

Πολύ όμορφη λύση.

Φιλικά,

Μιχάλης

#7

chris_gatos έγραψε:
H συνάρτηση $\displaystyle{ f:R \to R }$ είναι συνεχής και περιοδική με περίοδο $\displaystyle{ T = 1 }$ και ισχύει:
$\displaystyle{ f(x + \frac{1}{n}) + f(x + \frac{2}{n}) + ... + f(x + \frac{{n - 1}}{n}) = (n - 1)f(x),\forall x \in R,\forall n \in N^ * }$
Να δείξετε ότι η $\displaystyle{ f }$ είναι σταθερή.

Και αλλιώς (μόνο χάριν ποικιλίας): Βάζοντας διαδοχικά όπου

τα $x+ \frac{1}{n}, x+ \frac{2}{n}, ... , x+ \frac{n-1}{n}$ παίρνουμε, μαζί με την αρχική και με χρήση της περιοδικότητας, ότι

$\displaystyle{-(n-1)f(x) +f(x + \frac{1}{n}) + f(x + \frac{2}{n}) + ... + f(x + \frac{{n - 1}}{n}) =0$

$\displaystyle{f(x) -(n-1)f(x + \frac{1}{n}) + f(x + \frac{2}{n}) + ... + f(x + \frac{{n - 1}}{n}) =0$

$\displaystyle{f(x) +f(x + \frac{1}{n}) -(n-1) f(x + \frac{2}{n}) + ... + f(x + \frac{{n - 1}}{n}) =0$

...

$\displaystyle{f(x) +f(x + \frac{1}{n}) + f(x + \frac{2}{n}) + ... -(n-1) f(x + \frac{{n - 1}}{n}) =0$

Αυτό είναι ένα ομογενές σύστημα του οποίου η ορίζουσα είναι

$\begin{vmatrix} -(n-1) & 1 & 1 & ... &1 \\ 1 &-(n-1) &1 &... &1 \\ 1&1 &-(n-1) &...& 1\\ ...&... &... &... &... \\ 1& 1& 1 &... & -(n-1) \end{vmatrix}$

H ορίζουσα είναι 0 (το βλέπουμε εύκολα αν προσθέσουμε όλες τις γραμμές στην πρώτη) αλλά εξ ίσου εύκολα βλέπουμε κάνοντας γραμμοπράξεις ότι ανάγεται σε άνω τριγωνικό πίνακα του οποίου μόνο η κάτω δεξιά γωνία είναι 0 (πέρα από τα στοιχεία κάτω της διαγωνίου). Έπεται ότι ο πίνακας είναι τάξης n-1

και άρα όλες οι λύσεις του συστήματος είναι πολλαπλάσιο μίας και μονaδικής λύσης.
Όμως παρατηρούμε ότι μία λύση του είναι η

$\begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 1\\ ...\\ 1 \end{pmatrix}$

Συνοψίζοντας , υπάρχει σταθερά

με

$\displaystyle{f(x)= f(x + \frac{1}{n}) = f(x + \frac{2}{n}) = ... = f(x + \frac{{n - 1}}{n}) =c$ .

Τώρα είναι εύκολο να τελειώσουμε την άσκηση (παραπάνω έγινε με χρήση της πυκνότητας των ρητών, αλλά μπορούμε και αλλιώς).

Φιλικά,

Μιχάλης

Σταθερή συνάρτηση

Σταθερή συνάρτηση

Re: Σταθερή συνάρτηση

Re: Σταθερή συνάρτηση

Re: Σταθερή συνάρτηση

Re: Σταθερή συνάρτηση

Re: Σταθερή συνάρτηση

Re: Σταθερή συνάρτηση

Μέλη σε σύνδεση