Μέγιστη τιμή

nicolae · #1

Αν $0<\beta<\alpha\leq4$ και $2\alpha\beta\leq3\alpha+ 4\beta,$ να βρείτε τη μέγιστη τιμή της παράστασης $\alpha^2+\beta^2$

#2

Μέγιστη τιμή = 25

#3

Kαλησπέρα! Στη λύση σου, έχεις θεωρήσει, πως 0<a<b<=4, ενω η άσκηση μιλάει για 0<b<a<=4.
Nα σημειώσω πως η άσκηση με απασχόλησε, αλλά δεν κατάφερα να την προσεγγίσω. Κάτι δε μου αρέσει, αλλά
δεν έχω...αποδείξεις γι'αυτό...Καλησπέρα σας!

#4

Οχι εκ παραδρομής γράφτηκε 0<α<β, το σωστό είναι 0<β<α (Εξάλλου παίρνω τα σημεία κάτω απο την y=x, που δίνουν α>β)

#5

Nαι αλλά στο σημείο Β που λες έχουμε α=3 και b=4. Eγω πασχίζω να βγάλω f(3)=4 και δε μπορώ! Ασε που α< b!

#6

κι' άλλη παραδρομή .... Β(4,3) ... Το σχήμα και το κείμενο διορθώθηκαν

nicolae · #7

Θα θυμίσω ότι η άσκηση απευθύνεται σε μαθητές γυμνασίου...

#8

Σωστά! Να φανταστείς πως μέχρι και λογισμό δυο μεταβλητών (!) επιστράτευσα, αλλά τίποτα!!Μένει να δω τη λύση και να βεβαιωθώ πως η άσκηση είναι οκ...

Dreamkiller · #9

Μια προσπάθεια για αυτή την ωραία άσκηση, αν και πολύ φοβάμαι ότι δεν είναι αρκετά...rigorous.

Κατ' αρχάς έχουμε ότι $a \leq 4 \Leftrightarrow a^2 \leq 16$ . (1)
Παρατηρούμε τώρα όμως ότι το β είναι διαρκώς μικρότερο από το α. Συνεπώς, το β μπορεί να πάρει τη μέγιστη τιμή του μόνο αν το α μεγιστοποιηθεί κι αυτό, δηλαδή γίνει 4. Αλλιώς δεν γίνεται να προκύψει καλύτερο άνω φράγμα. Έτσι, η δοθείσα ανισότητα δίνει:
$8b \leq 12 + 4b \Leftrightarrow 4b \leq 12 \Leftrightarrow b \leq 3 \Leftrightarrow b^2 \leq 9$ (2)

Προσθέτοντας τις (1) και (2) προκύπτει ότι η μέγιστη τιμή είναι το 25.

#10

xm......

mathfinder · #11

Με το συνημμένο στέλνω μία λύση της δύσκολης αυτής (κατά τη γνώμη μου ) άσκησης όχι τόσο κομψή , αλλά δεν μπόρεσα να βρω κάτι καλύτερο , παρόλο που την έψαξα αρκετά. Σίγουρα θα υπάρχει και πιο όμορφη λύση .

Αθ. Μπεληγιάννης

Dreamkiller · #12

Ακόμα μια προσπάθεια για αυτήν την άσκηση. Ελπίζω να μην έκανα καμιά βλακεία.

Θεωρούμε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, με ορθή γωνία τη Γ, και ΒΓ= 4 και ΓΑ= β.
Θεωρώ τυχαίο σημείο Κ στην ΒΓ και τυχαίο σημείο Λ στην ΓΑ, με την προϋπόθεση βέβαια να είναι ΓΚ>ΓΛ.
Φέρω το ΚΛ.
Θεωρώ τη μεταφορά που πηγαίνει το Κ στην υποτείνουσα ΑΒ στο σημείο Κ'. Έστω ότι το Λ πηγαίνει στο Λ'. Τότε, στο τρίγωνο Κ'Λ'Α η γωνία Κ'Λ'Α είναι αμβλεία, συνεπώς Κ'Λ'<Κ'Α<ΑΒ.
Άρα η μέγιστη τιμή της υποτείνουσας προκύπτει όταν α= 4. Όταν α=4 έχουμε από την δοθείσα ανισότητα $b\leq 3$ . Άρα για αυτές τις τιμές παίρνουμε a^2 + b^2= 25

.

Μέγιστη τιμή

Μέγιστη τιμή

Re: Μέγιστη τιμή

Re: Μέγιστη τιμή

Re: Μέγιστη τιμή

Re: Μέγιστη τιμή

Re: Μέγιστη τιμή

Re: Μέγιστη τιμή

Re: Μέγιστη τιμή

Re: Μέγιστη τιμή

Re: Μέγιστη τιμή

Re: Μέγιστη τιμή

Re: Μέγιστη τιμή

Μέλη σε σύνδεση