Και ολίγη γραμμική άλγεβρα(1)

#1

Άσκηση προτεινόμενη από τον Νίκο Ζανταρίδη(nikoszan)

Αν για τον $\displaystyle{ 3x3 }$ πίνακα $\displaystyle{ A = \left[ {a_{ij} } \right] }$ ισχύουν ότι:
$\displaystyle{ \left| A \right| = 1,\left| {A + I} \right| = 8 }$ και $\displaystyle{ \left| {A + 2I} \right| = 27 }$
να δείξετε ότι ο πίνακας $\displaystyle{ A - I }$ δεν είναι αντιστρέψιμος.

#2

Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο q(x)=-|A-xI|

του

είναι ένα μονικό πολυώνυμο 3ου βαθμού.

Συνεπώς, το πολυώνυμο p(x)=q(x)-(x-1)^3

είναι ένα πολυώνυμο βαθμού το πολύ 2ου τέτοιο ώστε

p(0)=-|A|+1=0

,

, και

.

Συνεπώς, q(x)=(x-1)^3

για κάθε

κι άρα

, οπότε

, που σημαίνει ότι ο A-I

δεν είναι αντιστρέψιμος.

Φιλικά,

Αχιλλέας

tbolis · #3

Από τα δεδομένα συνεπάγεται ότι το ίχνος του πίνακα

και το άθροισμα των κυρίων ελασσόνων του ισούνται με το 3 και άρα η ορίζουσα του A-I

που ισούται με τη διαφορά των μεγεθών αυτών είναι μηδέν.

(Απέφυγα νόμιμα νομίζω τη χρήση τιυ Latex!)

Θ. Μπόλης

tbolis · #4

Καθώς έγραφα τα ανωτέρω, με πρόλαβε ο Αχιλλέας!

Και ολίγη γραμμική άλγεβρα(1)

Και ολίγη γραμμική άλγεβρα(1)

Re: Και ολίγη γραμμική άλγεβρα(1)

Re: Και ολίγη γραμμική άλγεβρα(1)

Re: Και ολίγη γραμμική άλγεβρα(1)

Μέλη σε σύνδεση