Συντελεστής όρου αναπτύγματος

mathxl · #1

Ποιος είναι ο συντελεστής του $\displaystyle{{x^7}}$ στο ανάπτυγμα του $\displaystyle{{\left( {1 - x - {x^2} + {x^3}} \right)^6}}$ ;

Α: -132 B:-144 C:132 D:144

solars · #2

mathxl έγραψε:Ποιος είναι ο συντελεστής του $\displaystyle{{x^7}}$ στο ανάπτυγμα του $\displaystyle{{\left( {1 - x - {x^2} + {x^3}} \right)^6}}$ ;

Α: -132 B:-144 C:132 D:144

H παράσταση γράφεται ως εξής :

$\displaystyle{{\left( {1 - x - {x^2} + {x^3}} \right)^6} = {\left( {x - 1} \right)^{12}} \cdot {\left( {x + 1} \right)^6}}$

Βρίσκω τα αναπτύγματα ξεχωριστά :

$\displaystyle{{\left( {x - 1} \right)^{12}} = {x^{12}} - 12{x^{11}} + ... - 792{x^7} + 924{x^6} - 792{x^5} + 495{x^4} - 220{x^3} + 66{x^2} - 12x + 1}$

$\displaystyle{{(x + 1)^6} = {x^6} + 6{x^5} + 15{x^4} + 20{x^3} + 15{x^2} + 6x + 1}$

Παίρνοντας το γινόμενο βρίσκω

$\displaystyle{\begin{array}{l} \left( { - 792{x^7} + 924{x^6} - 792{x^5} + 495{x^4} - 220{x^3} + 66{x^2} - 12x + 1} \right) \cdot \left( {{x^6} + 6{x^5} + 15{x^4} + 20{x^3} + 15{x^2} + 6x + 1} \right) = \\ = .. - 144{x^7}... \end{array}}$

Σωστή η Β.
ΥΓ Κομματάκι δύσκολη λόγω των πράξεων άλλα μέσα στην ύλη.

#3

Ας προσπαθήσουμε να εκμεταλλευτούμε το γεγονός ότι η ερώτηση είναι πολλαπλής επιλογής. Θα βρούμε τον συντελεστή του x^7

στο ανάπτυγμα του (1 - x - x^2 + x^3)^6

υπέρ του σώματος $\mathbb{F}^5$ . (Δηλαδή μας ενδιαφέρουν οι συντελεστές μόνο $\bmod 5$ .)

Ας θυμηθούμε ότι αν a,b,c,d

μη αρνητικοί ακέραιοι με a+b+c+d = 6

τότε ο συντελεστής του x^ay^bz^cw^d

στο ανάπτυγμα του (x+y+z+d)^6

ισούται με $\displaystyle{ \frac{6!}{a!b!c!d!}}$ . Η βασική παρατήρηση είναι ότι αυτό ισούται με $0 \bmod 5$ εκτός αν ένα από αυτά ισούται με 6 ή αν ένα από αυτά ισούται με 5 και ένα άλλο με 1.

Άρα ο συντελεστής του x^7

στο ανάπτγμα του (1 - x - x^2 + x^3)^6

υπέρ του $\mathbb{F}^5$ ισούται με $6(-1)^5(-1) \equiv 1 \bmod 5$ . Επομένως η σωστή απάντηση πρέπει να είναι η Β.

#4

solars έγραψε:
mathxl έγραψε:Ποιος είναι ο συντελεστής του $\displaystyle{{x^7}}$ στο ανάπτυγμα του $\displaystyle{{\left( {1 - x - {x^2} + {x^3}} \right)^6}}$ ;

Α: -132 B:-144 C:132 D:144
H παράσταση γράφεται ως εξής :

$\displaystyle{{\left( {1 - x - {x^2} + {x^3}} \right)^6} = {\left( {x - 1} \right)^{12}} \cdot {\left( {x + 1} \right)^6}}$

Βρίσκω τα αναπτύγματα ξεχωριστά :

$\displaystyle{{\left( {x - 1} \right)^{12}} = {x^{12}} - 12{x^{11}} + ... - 792{x^7} + 924{x^6} - 792{x^5} + 495{x^4} - 220{x^3} + 66{x^2} - 12x + 1}$

$\displaystyle{{(x + 1)^6} = {x^6} + 6{x^5} + 15{x^4} + 20{x^3} + 15{x^2} + 6x + 1}$

Παίρνοντας το γινόμενο βρίσκω

$\displaystyle{\begin{array}{l} \left( { - 792{x^7} + 924{x^6} - 792{x^5} + 495{x^4} - 220{x^3} + 66{x^2} - 12x + 1} \right) \cdot \left( {{x^6} + 6{x^5} + 15{x^4} + 20{x^3} + 15{x^2} + 6x + 1} \right) = \\ = .. - 144{x^7}... \end{array}}$

Σωστή η Β.
ΥΓ Κομματάκι δύσκολη λόγω των πράξεων άλλα μέσα στην ύλη.

Λίγο πιο εύκολο μέσω $(x^{2}-1)^{6}(x-1)^{6}$ και 120-300+36=-144

.

Γιώργος Μπαλόγλου

mathxl · #5

Ευχαριστώ. Η απάντηση που έχω δει είναι σαν του Γιώργου.

Συντελεστής όρου αναπτύγματος

Συντελεστής όρου αναπτύγματος

Re: Συντελεστής όρου αναπτύγματος

Re: Συντελεστής όρου αναπτύγματος

Re: Συντελεστής όρου αναπτύγματος

Re: Συντελεστής όρου αναπτύγματος

Μέλη σε σύνδεση