Eμβαδον

solars · #1

Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση $\displaystyle{f(x)}$ για την οποία ισχύει οτι $\displaystyle{\int\limits_1^{f(x)} {\left( {3{t^2} + 2} \right)dt = x} }$ , $\displaystyle{\forall x \in R}$ .
Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της

και τους άξονες xx'

και

.

mathxl · #2

Είναι
$\displaystyle{\int\limits_1^{f(x)} {\left( {3{t^2} + 2} \right)dt = x} \Leftrightarrow {f^3}\left( x \right) + 2f\left( x \right) - 3 = x \Leftrightarrow f\left( x \right) = \frac{{x + 3}}{{{f^2}\left( x \right) + 2}}}$

Για τις ρίζες
$\displaystyle{f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = - 3}$

Για το πρόσημο
$\displaystyle{f\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow x > - 3}$

Παραγωγίζοντας την δοθείσα λαμβάνουμε
$\displaystyle{f'\left( x \right)\left[ {3{f^2}\left( x \right) + 2} \right] = 1 \Rightarrow f'\left( x \right) = \frac{1}{{3{f^2}\left( x \right) + 2}}}$

Το ζητούμενο εμβαδό ισούται με $\displaystyle{E\left( \Omega \right) = \int\limits_{ - 3}^0 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} = \int\limits_{ - 3}^0 {f\left( x \right)dx} }$
Όμως παρατηρώ ότι η $\displaystyle{g\left( x \right) = \int\limits_1^x {\left( {3{t^2} + 2} \right)dt} = {x^3} + 2x - 3,x \in R}$
Είναι γνησίως αύξουσα ( $\displaystyle{g'\left( x \right) = 3{x^2} + 2 > 0}$ ) και ως συνεχής (διότι είναι παραγωγίσιμη) έχει σύνολο τιμών το $\displaystyle{g\left( R \right) = \left( {\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } g\left( x \right),\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } g\left( x \right)} \right) = R}$
Από την δοθείσα ισχύει
$\displaystyle{g\left( {f\left( x \right)} \right) = x \Leftrightarrow f\left( x \right) = {g^{ - 1}}\left( x \right)}$

Άρα
$\displaystyle{E\left( \Omega \right) = \int\limits_{ - 3}^0 {{g^{ - 1}}\left( x \right)dx} \mathop = \limits_{dx = g'\left( u \right)du}^{x = g\left( u \right)} \int\limits_0^1 {ug'\left( u \right)du} = \int\limits_0^1 {u\left( {3{u^2} + 2} \right)du} = \left[ {\frac{{3{u^4}}}{4} + {u^2}} \right]_0^1 = \frac{7}{4}\tau \mu }$

Σχόλια:
1) Κάποιος θα διερωτηθεί γιατί δίνει την παραγωγισιμότητα; Πιθανή απάντηση: η παράγωγος έχει ως κλάσμα άμεση σχέση με την f ως κλάσμα. Πράγμα που δίνει εύκολο υπολογισμό στο ολοκλήρωμα για το εμβαδό. Εδώ δεν συμβαίνει αυτό. Γιαυτό κατάφεύγω στην αντίστροφη
2) Η παραγωγισιμότητα λοιπόν δίνεται πιθανότατα για να δικαιολογηθεί η συνέχεια στην αντίστροφη

#3

Για

έχουμε ότι: $\displaystyle{\int_1^{f(0)}(3t^2+2)dt=0$ και αφού $3t^2+2>0, \forall t \in \mathbb{R}}$ ,

θα πρέπει f(0)=1

.

Παραγωγίζοντας τη δοσμένη σχέση έχουμε ότι:
$\displaystyle{(3f^2(x)+2)f{'}(x)=1 \Leftrightarrow 3f^2(x)f{'}(x)+2f{'}(x)=1 \Rightarrow f^3(x)+2f(x)=x+c}$

και αφού f(0)=1

προκύπτει ότι c=3

.

Συνεπώς: f^3(x)+2f(x)=x+3 (I)

και για

έχουμε ότι: f(-3)=0

.

Επίσης από τα προηγούμενα προκύπτει ότι: $\displaystyle{f{'}(x)=\frac{1}{3f^2(x)+2}>0}$ ,

οπότε η

είναι γνησίως αύξουσα στο $\mathbb{R}$ , οπότε η ρίζα x=-3

που βρήκαμε είναι μοναδική.

Η συνάρτηση f ως γνησίως αύξουσα είναι και 1-1, άρα αντιστέψιμη και προκύπτει από την (Ι): $f^{-1}(x)=x^3+2x-3$ .

Το ζητούμενο εμβαδό είναι το $\displaystyle{E=\int_{-3}^0f(x)dx}$ , το οποίο λόγω της συμμετρίας των γραφικών παραστάσεων των $f,f^{-1}$ ως προς την ευθεία με εξίσωση y=x

είναι ισοδύναμο με το:

$\displaystyle{E=-\int_0^1f^{-1}(x)dx=\ldots=\frac{7}{4}}$ .

Υ.Γ. Βασίλη με έφαγες λάχανο, παρόλο που "ζίπαρα" καποια σημεία.

mathxl · #4

Τελικά το σχόλιο 2 είναι άνευ ουσίας. Να αποδειχτεί ότι το δεδομένο της παραγωγισιμότητας είναι πλεονασμός. Δηλαδή ότι αποδεικνύεται πως η

είναι συνεχής και παραγωγίσιμη

Eμβαδον

Eμβαδον

Re: Eμβαδον

Re: Eμβαδον

Re: Eμβαδον

Μέλη σε σύνδεση