Ακέραιες λύσεις εξίσωσης

Μάκης Χατζόπουλος · #1

Με βάση μιας άσκηση σχολικού βιβλίου, δημιούργησα την παρακάτω (είναι μία από τις ασκήσεις ενός ένθετου που θα παρουσιάσω σύντομα)

Νομίζω ότι είναι διαφορετική από τις συνηθισμένες αλλά δεν ξεφεύγει κατά πολύ, από τα σχολικά δεδομένα. Την έθεσα εδώ, αφού πιστεύω ότι ταιριάζει στο ύφος του ΑΣΕΠ και θα της δοθεί η προσοχή που τις αξίζει.

Θέμα 2/ (Από το φυλλάδιο Μαθηματικές προκλήσεις - προσεχώς)
Να βρείτε τις ακέραιες λύσεις της εξίσωσης: $\displaystyle{\frac{{x\left( {{x^2} + 2} \right)}}{3} = 1649}$

Καλό καλοκαίρι σε όλους!

solars · #2

Μάκης Χατζόπουλος έγραψε:Με βάση μιας άσκηση σχολικού βιβλίου, δημιούργησα την παρακάτω (είναι μία από τις ασκήσεις ενός ένθετου που θα παρουσιάσω σύντομα)

Νομίζω ότι είναι διαφορετική από τις συνηθισμένες αλλά δεν ξεφεύγει κατά πολύ, από τα σχολικά δεδομένα. Την έθεσα εδώ, αφού πιστεύω ότι ταιριάζει στο ύφος του ΑΣΕΠ και θα της δοθεί η προσοχή που τις αξίζει.

Θέμα 2/ (Από το φυλλάδιο Μαθηματικές προκλήσεις - προσεχώς)
Να βρείτε τις ακέραιες λύσεις της εξίσωσης: $\displaystyle{\frac{{x\left( {{x^2} + 2} \right)}}{3} = 1649}$

Καλό καλοκαίρι σε όλους!

To δεξί μέρος γραφεται σαν 3*17*97=x*(x^2+2)

και επειδή αναζητούμε ακεραίους η τιμή x=17

επαληθεύει.

ΥΓ Αρκετά εύκολο μου φαίνεται...

Μάκης Χατζόπουλος · #3

Η λύση είναι μοναδική; Δεν πρέπει να γράψεις και κάτι άλλο;

Γιώργος Απόκης · #4

Αν κάνουμε "χιαστί" προκύπτει η εξίσωση x^3+2x-4947=0

. H ανάλυση του σταθερού όρου σε πρώτους παράγοντες δίνει

$4947=3\cdot 17 \cdot 97$ , άρα οι πιθανές ακέραιες ρίζες είναι οι αριθμοί 3,17,97

ή αυτοί που είναι γινόμενα ανά δύο ή ανά τριών των 3,17,97

.

(Η εξίσωση είναι φανερό ότι δεν έχει αρνητικές ρίζες). Έτσι, πιθανές είναι οι αριθμοί: 3,17,97,51,291,1649,4947

.

Οι τελευταίες 5 απορρίπτονται γιατί γι' αυτές x^3+2x>>4947

, άρα "δοκιμάζοντας" έχουμε μόνο την x=17

.

Γιώργος Απόκης · #5

Ένας άλλος τρόπος είναι να παρατηρήσουμε ότι η τιμή x=17

επαληθεύει και είναι μοναδική αφού η συνάρτηση f(x)=x^3+2x-4947

είναι γνησίως αύξουσα στο $\mathbb R$ .

(Έχει $f{'}(x)=3x^2+2>0$ για κάθε $x \in \mathbb R$ ).

Μάκης Χατζόπουλος · #6

Φίλε Γιώργο, έβαλα το νούμερο 1649 για να είναι αποτρεπτική η πρώτη σου λύση, αλλά τελικά λάθος υπολόγισα! Όσο με την ύλη της Γ Λυκείου ούτε που το σκέφτηκα.

Η λύση - σκέψη μου, ήταν η εξής:

Έστω $\displaystyle{x}$ ακέραιος αριθμός, θα δείξουμε ότι και η παράσταση $\displaystyle{\frac{{x\left( {{x^2} + 2} \right)}}{3}}$ είναι ακέραιος αριθμός (εφαρμογή 1 /σελ. 143 σχ. βιβλίο Μαθηματικά Κατεύθυνση Β΄ Λυκείου).

Τα δυνατά αποτελέσματα του $\displaystyle{x}$ με το 3, είναι 0,1,2, άρα ο ακέραιος $\displaystyle{x}$ έχει μία από τις μορφές:
$\displaystyle{x = 3k}$ ή $\displaystyle{x = 3k + 1}$ ή $\displaystyle{x = 3k + 2}$ , $\displaystyle{k \in Z}$
• Αν $\displaystyle{x = 3k}$ , $\displaystyle{k \in Z}$ τότε $\displaystyle{\frac{{x\left( {{x^2} + 2} \right)}}{3} = k\left( {9{k^2} + 2} \right) \in Z}$ (1)
• Αν $\displaystyle{x = 3k + 1}$ , $\displaystyle{k \in Z}$ τότε $\displaystyle{\frac{{x\left( {{x^2} + 2} \right)}}{3} = \left( {3k + 1} \right)\left( {3{k^2} + 2k + 1} \right) \in Z}$ (2)
• Αν $\displaystyle{x = 3k + 2}$ , $\displaystyle{k \in Z}$ τότε $\displaystyle{\frac{{x\left( {{x^2} + 2} \right)}}{3} = \left( {3k + 2} \right)\left( {3{k^2} + 4k + 2} \right) \in Z}$ (3)

Ο αριθμός $\displaystyle{1649 = 17 \cdot 97}$ επαληθεύεται μόνο από την σχέση (3) αφού $\displaystyle{3k + 2 = 17}$ άρα $\displaystyle{k = 5}$ , που μας δίνει $\displaystyle{3{k^2} + 4k + 2 = 3 \cdot {5^2} + 4 \cdot 5 + 2 = 97}$ και είναι δεκτή.

Άρα η ζητούμενη ακέραια λύση είναι $\displaystyle{x = 3k + 2 = 3 \cdot 5 + 2 = 17}$

Γιώργος Απόκης · #7

Καλησπέρα. Η αλήθεια είναι ότι από τη μορφή του κλάσματος φαντάστηκα ότι κάτι τέτοιο είχες κατά νου, αλλά δούλεψα αλλιώς.

Πολύ όμορφη άσκηση και λύση πάντως!

Μάκης Χατζόπουλος · #8

George73 έγραψε:Καλησπέρα. Η αλήθεια είναι ότι από τη μορφή του κλάσματος φαντάστηκα ότι κάτι τέτοιο είχες κατά νου, αλλά δούλεψα αλλιώς.

Πολύ όμορφη άσκηση και λύση πάντως!

Γιώργο καλοπροαίρετος όπως πάντα, σε ευχαριστώ!

Η ομορφιά της άσκησης βρίσκεται στην σκέψη πως μπορεί να την λύση ο μαθητής του Γυμνασίου. Για τον μαθητή της Β ή Γ Λυκείου τελικά είναι απλή (πόσο μάλλον για τον καθηγητή Μαθηματικών).

Από ότι βλέπω έκανα κακή επιλογή φακέλου, αλλά δεν πειράζει την φωτίσαμε την άσκηση από όλες τις πλευρές της!

Μάκης Χατζόπουλος · #9

Μάκης Χατζόπουλος έγραψε: Η λύση - σκέψη μου, ήταν η εξής:

Έστω $\displaystyle{x}$ ακέραιος αριθμός, θα δείξουμε ότι και η παράσταση $\displaystyle{\frac{{x\left( {{x^2} + 2} \right)}}{3}}$ είναι ακέραιος αριθμός (εφαρμογή 1 /σελ. 143 σχ. βιβλίο Μαθηματικά Κατεύθυνση Β΄ Λυκείου).

Τα δυνατά αποτελέσματα του $\displaystyle{x}$ με το 3, είναι 0,1,2, άρα ο ακέραιος $\displaystyle{x}$ έχει μία από τις μορφές:
$\displaystyle{x = 3k}$ ή $\displaystyle{x = 3k + 1}$ ή $\displaystyle{x = 3k + 2}$ , $\displaystyle{k \in Z}$
• Αν $\displaystyle{x = 3k}$ , $\displaystyle{k \in Z}$ τότε $\displaystyle{\frac{{x\left( {{x^2} + 2} \right)}}{3} = k\left( {9{k^2} + 2} \right) \in Z}$ (1)
• Αν $\displaystyle{x = 3k + 1}$ , $\displaystyle{k \in Z}$ τότε $\displaystyle{\frac{{x\left( {{x^2} + 2} \right)}}{3} = \left( {3k + 1} \right)\left( {3{k^2} + 2k + 1} \right) \in Z}$ (2)
• Αν $\displaystyle{x = 3k + 2}$ , $\displaystyle{k \in Z}$ τότε $\displaystyle{\frac{{x\left( {{x^2} + 2} \right)}}{3} = \left( {3k + 2} \right)\left( {3{k^2} + 4k + 2} \right) \in Z}$ (3)

Συνεχίζω και δίνω αναλυτικά την λύση για να μην χαθεί η σκέψη

Το 1649 γράφεται $\displaystyle{17 \cdot 97}$ οπότε ένας παράγοντας (ο μικρότερος) θα είναι το 17 και ο άλλος (ο μεγαλύτερος) το 97. Ας τα δούμε αναλυτικά:
• Από την (1) έχουμε:
$\displaystyle{f\left( x \right) = 1649 \Rightarrow k\left( {9{k^2} + 2} \right) = 1649 \Rightarrow k\left( {9{k^2} + 2} \right) = 17 \cdot 97}$
$\displaystyle{\mathop \Rightarrow \limits^{k < 9{k^2} + 2} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {k = 17} \\ {9{k^2} + 2 = 97} \\ \end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {k = 17} \\ {{k^2} = \frac{{95}}{9} \notin Z} \\ \end{array}} \right.}$ που είναι αδύνατη
• Από την (2) έχουμε:
$\displaystyle{f\left( x \right) = 1649 \Rightarrow \left( {3k + 1} \right)\left( {3{k^2} + 2k + 1} \right) = 1649 \Rightarrow \left( {3k + 1} \right)\left( {3{k^2} + 2k + 1} \right) = 17 \cdot 97}$
$\displaystyle{\mathop \Rightarrow \limits^{3k + 1 < 3{k^2} + 2k + 1} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {3k + 1 = 17} \\ {3{k^2} + 2k + 1 = 97} \\ \end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {k = \frac{{16}}{3} \notin Z} \\ {3{k^2} + 2k - 96 = 0} \\ \end{array}} \right.}$ που είναι αδύνατη
• Από την (3) έχουμε:
$\displaystyle{f\left( x \right) = 1649 \Rightarrow \left( {3k + 2} \right)\left( {3{k^2} + 4k + 2} \right) = 1649 \Rightarrow \left( {3k + 2} \right)\left( {3{k^2} + 4k + 2} \right) = 17 \cdot 97}$
$\displaystyle{\mathop \Rightarrow \limits^{3k + 2 < 3{k^2} + 4k + 2} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {3k + 2 = 17} \\ {3{k^2} + 4k + 2 = 97} \\ \end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {k = 5} \\ {3{k^2} + 4k - 95 = 0} \\ \end{array} \Rightarrow } \right.} \right.\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {k = 5} \\ {k = 5\,,\,\,\,k = \frac{{ - 19}}{3} \notin Z} \\ \end{array} \Rightarrow k = 5} \right.}$
άρα η μοναδική ακέραια λύση της εξίσωσης $\displaystyle{f\left( x \right) = 1649}$ είναι η $\displaystyle{x = 3 \cdot 5 + 2 = 17}$

Σημείωση (προς Γενικούς Συντονιστές): Το κατάλαβα όλα σε Latex, μέχρι και το $\displaystyle{x}$

Ακέραιες λύσεις εξίσωσης

Ακέραιες λύσεις εξίσωσης

Re: Ακέραιες λύσεις εξίσωσης

Re: Ακέραιες λύσεις εξίσωσης

Re: Ακέραιες λύσεις εξίσωσης

Re: Ακέραιες λύσεις εξίσωσης

Re: Ακέραιες λύσεις εξίσωσης

Re: Ακέραιες λύσεις εξίσωσης

Re: Ακέραιες λύσεις εξίσωσης

Re: Ακέραιες λύσεις εξίσωσης

Μέλη σε σύνδεση