Μη παραγωγική "δουλειά"

KARKAR · #1

Να δειχθεί ότι : $\displaystyle 1+2\left(1+\frac{1}{n} \right)+3\left(1+\frac{1}{n} \right)^2+...+n\left(1+\frac{1}{n} \right)^{n-1}=n^{2}$

Μαθηματικά Θετικής , Ηλία Ντζιώρα , ( επαναλαμβάνω την προτροπή : αναζητήστε αυτό το βιβλίο !)

solars · #2

KARKAR έγραψε:Να δειχθεί ότι : $\displaystyle 1+2\left(1+\frac{1}{n} \right)+3\left(1+\frac{1}{n} \right)^2+...+n\left(1+\frac{1}{n} \right)^{n-1}=n^{2}$

Μαθηματικά Θετικής , Ηλία Ντζιώρα , ( επαναλαμβάνω την προτροπή : αναζητήστε αυτό το βιβλίο !)

Θέτω $\displaystyle{x = 1 + \frac{1}{n}}$ και το άθροισμα γίνεται :

$\displaystyle{S = 1 + 2x + 3{x^2} + ... + n{x^{n - 1}}}$

Πολλαπλασιάζω με x την παραπάνω σχέση παίρνω :

$\displaystyle{xS = x + 2{x^2} + 3{x^3} + ... + n{x^n}}$

Αφαιρώντας τις δυο σχέσεις και συμμαζεύω :

$\displaystyle{\begin{array}{l} S - xS = 1 + x + {x^2} + ... + {x^{n - 1}} - n{x^n}\\ (1 - x)S = \frac{{1 - {x^n}}}{{1 - x}} - n{x^n} \end{array}}$

Αντικαθιστώντας την τιμή του x βρίσκω το ζητούμενου.

#3

Και να συμπληρώσω: αφού την κάνετε με γνώσεις Β' Λυκείου (ενδιαφέρουσα άσκηση) να την ξανακάνετε πιο απλά με γνώσεις Γ ' Λυκείου (επιτρέπεται η παραγώγιση).

Μ.

Ουπς. Με πρόλαβες, όσο έγραφα, ως προς το ένα σκέλος. Μένει η Γ ' Λυκείου.

#4

KARKAR έγραψε:..... ( επαναλαμβάνω την προτροπή : αναζητήστε αυτό το βιβλίο !)

Θανάση μαζί σου,αρκεί να μην πετάξει στα ...ύψη,λόγω ζήτησης.Κρίμα είναι,σε αυτές τις παλιοημέρες που ζούμε.

Christos.N · #5

Mihalis_Lambrou έγραψε:Και να συμπληρώσω: αφού την κάνετε με γνώσεις Β' Λυκείου (ενδιαφέρουσα άσκηση) να την ξανακάνετε πιο απλά με γνώσεις Γ ' Λυκείου (επιτρέπεται η παραγώγιση).

Μ.

Ουπς. Με πρόλαβες, όσο έγραφα, ως προς το ένα σκέλος. Μένει η Γ ' Λυκείου.

αγαπημένη μου άσκηση.

Θεωρούμε πολυώνυμο, $\displaystyle{P(x) = \sum\limits_{i = 0}^n {{x^i}} ,x > 1}$

ισοδύναμη έκφρασή του το $\displaystyle{P(x) = \frac{{{x^{n + 1}} - 1}}{{x - 1}}(1)}$

παραγωγίζοντας την κάθε έκφραση έχουμε: $\displaystyle{P'(x) = \sum\limits_{i = 1}^n {i{x^{i - 1}}} (2)}$

$\displaystyle{(1) \Rightarrow P'(x) = \frac{{(n + 1){x^n}(x - 1) - ({x^{n + 1}} - 1)}}{{{{(x - 1)}^2}}}(3)}$

θέτοντας τώρα, $\displaystyle{x = 1 + \frac{1}{n}}$

$\displaystyle{\begin{array}{l} (2),(3) \Rightarrow \sum\limits_{i = 1}^n {i{{(1 + \frac{1}{n})}^{i - 1}}} = \frac{{(n + 1){{\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)}^n}(1 + \frac{1}{n} - 1) - ({{\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)}^{n + 1}} - 1)}}{{{{(1 + \frac{1}{n} - 1)}^2}}} \Rightarrow \\ 1 + 2\left( {1 + \frac{1}{n}} \right) + ... + n\left( {1 + \frac{1}{n}} \right) = {n^2} \\ \end{array}}$

PanosG · #6

KARKAR έγραψε: Μαθηματικά Θετικής , Ηλία Ντζιώρα , ( επαναλαμβάνω την προτροπή : αναζητήστε αυτό το βιβλίο !)

Ξέρει κανείς που μπορούμε να βρούμε αυτό το βιβλίο η άλλα παρεμφερή?

solars · #7

PanosG έγραψε:
KARKAR έγραψε: Μαθηματικά Θετικής , Ηλία Ντζιώρα , ( επαναλαμβάνω την προτροπή : αναζητήστε αυτό το βιβλίο !)
Ξέρει κανείς που μπορούμε να βρούμε αυτό το βιβλίο η άλλα παρεμφερή?

Και να είναι συγκεκριμένος αν γίνεται...

parmenides51 · #8

Λογικά αποδεικνύεται και με επαγωγή.
Μπορεί όμως να αποδειχθεί γεωμετρικά; Δεν έχω απάντηση.

vanalex · #9

PanosG έγραψε:\
Ξέρει κανείς που μπορούμε να βρούμε αυτό το βιβλίο η άλλα παρεμφερή?

Βασικά Παναγιώτη όσο κι αν έψαξα στο διαδίκτυο σε διάφορους εκδοτικούς οίκους λέει ότι το συγκεκριμένο είναι εκτός κυκλοφορίας. Αν είσαι Αθήνα, όμως, και ψάξεις σε μεγάλα βιβλιοπωλεία πιστεύω κάτι θα πετύχεις...Ουέ κι αλοίμονο σ' εμάς τα επαρχιωτάκια...

#10

parmenides51 έγραψε:Λογικά αποδεικνύεται και με επαγωγή.

Ό χ ι ι ι ι ι ι ι. Αυτό ακριβώς είναι το μυστικό, ότι δηλαδή η άσκηση είναι φταφμένη να μην μπορείς επαγωγή.

Πρόκειτα για ένα από εκείνα τα παραδείγματα που είναι πιο εύκολο να αποδείξεις κάτι γενικότερο.

Π.χ. εύκολα δείχνουμε ότι $\displaystyle 1+x+x^2 + ... + x^n = \frac {n^{n+1}-1}{x-1}$

όμως άντε δείξε ΜΕ ΕΠΑΓΩΓΗ (χωρίς να το δεις, γενικότερα, ως γεωμετρική πρόοδο) ότι

$\displaystyle{ 1 + \left( 1+\frac{n^7}{3+\sqrt[3]{n+\sqrt n}} \right) + \left( 1+\frac{n^7}{3+\sqrt[3]{n+\sqrt n}}\right)^2 +... + \left( 1+\frac{n^7}{3+\sqrt[3]{n+\sqrt n}}\right)^n = \frac{\left( 1+\frac{n^7}{3+\sqrt[3]{n+\sqrt n}}\right)^{n+1}-1}{1+\frac{n^7}{3+\sqrt[3]{n+\sqrt n}}-1}$

για να πω, και μη χειρότερα.

Φιλικά,

Μιχάλης

parmenides51 · #11

Με το μάτι φάνηκε να δουλεύει η επαγωγή. Αλλά στο χαρτί γιοκ.

Πάλι κάτι μάθαμε στο

.

vasilis.volos.13 · #12

Μπορείτε μήπως να διευκρινίσετε αν ο n είναι πραγματικός ακέραιος ή φυσικός ?

#13

vasilis.volos.13 έγραψε:Μπορείτε μήπως να διευκρινίσετε αν ο n είναι πραγματικός ακέραιος ή φυσικός ?

Φυσικός.

Αφού μιλάμε για επαγωγή, εξυπακούεται από τα συμφραζόμενα.

#14

solars έγραψε:
PanosG έγραψε:
KARKAR έγραψε: Μαθηματικά Θετικής , Ηλία Ντζιώρα , ( επαναλαμβάνω την προτροπή : αναζητήστε αυτό το βιβλίο !)

ΤΟ ΠΡΑΣΙΝΟ ΕΊΝΑΙ;

#15

Το πράσινο ήταν το βιβλίο του μαθητή. Αυτό έχω δει αλλά εδώ οι συνάδελφοι αναφέρουν ένα καφέ πιο εμπλουτισμένο, για τον Καθηγητή.

Μ.

irakleios · #16

chris_gatos έγραψε:
KARKAR έγραψε:..... ( επαναλαμβάνω την προτροπή : αναζητήστε αυτό το βιβλίο !)
Θανάση μαζί σου,αρκεί να μην πετάξει στα ...ύψη,λόγω ζήτησης.Κρίμα είναι,σε αυτές τις παλιοημέρες που ζούμε.

Έxω μια ιδέα , γιατί δεν το βγάζουμε μια φωτοτυπία και να το στελει το

στα μέλη που το θέλουν σε μια λογική τιμη έτσι βοηθιέται και το

και τα μέλη της

solars · #17

irakleios έγραψε:
chris_gatos έγραψε:
KARKAR έγραψε:..... ( επαναλαμβάνω την προτροπή : αναζητήστε αυτό το βιβλίο !)
Θανάση μαζί σου,αρκεί να μην πετάξει στα ...ύψη,λόγω ζήτησης.Κρίμα είναι,σε αυτές τις παλιοημέρες που ζούμε.
Έxω μια ιδέα , γιατί δεν το βγάζουμε μια φωτοτυπία και να το στελει το στα μέλη που το θέλουν σε μια λογική τιμη έτσι βοηθιέται και το και τα μέλη της

Καποιοι συναδελφοι και συγγραφεις στο παρελθον μας αναφερουνε οτι τα βιβλια τους εχουν εξαντληθει.Προφανως αντιτυπα εχουν οι ιδιοι.Ας δωσουν σε καποιο φωτοτυπαδικο τα αντιτυπα αυτα ωστε να γινουν αντιγραφα και να τα προμηθευτουμε σε λογικες τιμες και οχι 50 η 80 ευρω που ζηταει ο παλαιοβιβλιοπωλης.

parmenides51 · #18

Η παραπάνω πρόοδος ονομάζεται μικτή πρόοδος όπως

ο Αντώνης Κυριακόπουλος έγραψε: ... Μία ακολουθία ονομάζεται ΜΙΚΤΉ ΠΡΟΟΔΟΣ αν, και μόνο αν, οι όροι της είναι, κατά σειρά, το γινόμενο των ομοταξίων όρων μιας αριθμητικής και μιας γεωμετρικής προόδου:
Αριθμητική πρόοδος: 1, 2, 3, . . . ,2009.
Γεωμετρική πρόοδος: $2, 2^{2}, 2^{3},...,2^{2009}$
Μικτή πρόοδος: $2, 2.2^{2}, 3.2^{3},...,2009.2^{2009}$
...

εδώ συμπληρώνοντας με μεθοδολογία υπολογισμού αντίστοιχων αθροισμάτων.

Μη παραγωγική "δουλειά"

Μη παραγωγική "δουλειά"

Re: Μη παραγωγική "δουλειά"

Re: Μη παραγωγική "δουλειά"

Re: Μη παραγωγική "δουλειά"

Re: Μη παραγωγική "δουλειά"

Re: Μη παραγωγική "δουλειά"

Re: Μη παραγωγική "δουλειά"

Re: Μη παραγωγική "δουλειά"

Re: Μη παραγωγική "δουλειά"

Re: Μη παραγωγική "δουλειά"

Re: Μη παραγωγική "δουλειά"

Re: Μη παραγωγική "δουλειά"

Re: Μη παραγωγική "δουλειά"

Re: Μη παραγωγική "δουλειά"

Re: Μη παραγωγική "δουλειά"

Re: Μη παραγωγική "δουλειά"

Re: Μη παραγωγική "δουλειά"

Re: Μη παραγωγική "δουλειά"

Μέλη σε σύνδεση